Grupa Lorentza

Z Wikipedii

Zachowanie odległości (izometria) w czasoprzestrzeni Minkowskiego narzuca warunki

$g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}.$

W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać

Λ T g Λ = g

gdzie macierz g=diag(1,-1,-1,-1) jest macierzą diagonalną o sygnaturze (+,-,-,-). Gdy ograniczymy się tylko do podprzestrzeni 3 - wymiarowej (g -> -I) czasoprzestrzeni, warunek ten definiuje transformacje ortogonalne grupy O(3) (grupa obrotów w przestrzeni 3 - wymiarowej). Macierze Λ nazywamy macierzami Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza z mnożeniem grupowym zdefiniowanym jako mnożenie macierzy. Grupa Lorentza jest podgrupą szerszej grupy grupę Poincarégo:

$x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}.$

W zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa (Λ=I), transformacja odwrotna i składanie transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza.

Właściwe transformacje Lorentza otrzymujemy, gdy ograniczymy się do transfomacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (w kierunku ruchu układu współrzędnych względem siebie, np. wzdłuż osi $x 1$ ). Wtedy macierz g=diag(1,-1) i warunek na transformacje Lorentza definiuje grupę obrotów hiperbolicznych O(1,1). Macierz ma prostą 2 - wymiarową postać

$\Lambda=\begin{pmatrix}a &b\\c&d\end{pmatrix}.$

Warunek definujący macierze Lorentza daje związki

a 2 - c 2 = 1

a b = c d

d 2 - b 2 = 1

Z dokładnością do znaku, najprostsze rozwiązanie ma postać macierzy obrotu hiperbolicznego

$\Lambda=\begin{pmatrix}ch(\varphi) &sh(\varphi)\\sh(\varphi)&ch(\varphi)\end{pmatrix},$

ponieważ funkcje te spełniają warunek $ch^2(\varphi)-sh^2(\varphi)=1$ . $\varphi$ jest ciągłym parametrem. Macierze te podobnie jak macierze ortogonalne grupy SO(2) tworzą grupę SO(1,1). Transformacje Larentza można teraz zapisać jako

$\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ch(\varphi) &sh(\varphi)\\sh(\varphi)&ch(\varphi)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix}$

Parametr $\varphi$ może być zamieniony na bardziej fizyczny

$th(\varphi)=\frac{v}{c}$

opisujący względny ruch obu układów współrzędnych. Daję (po przekształceniach) to jawną postać transformacji Lorentza

$t \rightarrow t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(t+\frac{v}{c^2}x^1),$ $x^1 \rightarrow x'^1=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(x^1+v t).$

Transformacja ta prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza). Definiując

$u=\frac{dx^1}{dt}$ i $u'=\frac{dx'^1}{dt'}$ otrzymujemy

$u'=\frac{u + v}{(1 + \frac{v u}{c^2})}.$

Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkościa u=c to w drugim układzie poruszającym się z prędkoscią v ciało nadal poruszać się będzie z prędkością c.

Ogólnie grupa Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów. Trzy parametry związane są z grupa obrotów gdzie istnieją trzy niezależne generatory ( $T i$ i=1,2,3). Trzy następne parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza. Tak na przykład, pełna transformacja Lorentza wzdłuż pierwszej osi ma postać

$\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ch(\varphi) &sh(\varphi)&0&0\\sh(\varphi)&ch(\varphi)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3 \end{pmatrix}$