Izometria
Z Wikipedii
W geometrii, topologii i analizie matematycznej izometria jest odwzorowaniem, które nie zmienia odległości między punktami.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Odwzorowanie f : X → Y z przestrzeni metrycznej X z metryką dX do Y z metryką dY nazywamy izometrią, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów x1, x2 z X spełniony jest warunek
- dY(f(x1), f(x2)) = dX(x1, x2).
Innymi słowy, odległość między odpowiednimi punktami w obrazie jest taka sama jak odległość między tymi punktami.
[edytuj] Własności
[edytuj] Ogólne
Izometria jest przekształceniem różnowartościowym. Jeżeli jest też na zbiór Y, to jest bijekcją i ma odwzorowanie odwrotne, które również jest izometrią.
Każda izometria jest odwzorowaniem ciągłym.
Złożenie izometrii jest znów izometrią – izometrie na tworzą podgrupę grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie.
[edytuj] Przestrzeń euklidesowa
Każda izometria na płaszczyźnie euklidesowej jest złożeniem co najwyżej trzech symetrii.
Każda izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym.
[edytuj] Przykłady
Każde przekształcenie identycznościowe: x → x przestrzeni metrycznej w siebie jest izometrią.
W przestrzeni euklidesowej R2 przekształcenie określone wzorem (x, y) → (x, - y) jest izometrią.
Każda translacja jest izometrią.
W przestrzeni l1 wszystkich ciągów (xn) liczb rzeczywistych takich, że szereg liczbowy ∑ n |xn| jest zbieżny, określmy odległość między ciągami x = (xn) i y = (yn) wzorem: d(x, y) = ∑ n |xn - yn|. Przekształcenie tej przestrzeni w siebie określone wzorem: (x1, x2, x3, ...) → (0, x1, x2, x3, ...) jest izometrią, lecz nie jest na.
