Algebra Liego
Z Wikipedii
Algebra Liego – w matematyce, struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Algebra Liego nad ciałem K (zwykle lub ) to przestrzeń liniowa X nad ciałem K z określonym działaniem dwuargumentowym , nazywanym nawiasem Liego lub komutatorem, spełniającym dla dowolnych i następujące warunki:
- dwuliniowość:
- [αx + βz,y] = α[x,y] + β[z,y],
- [x,αy + βz] = α[x,y] + β[x,z],
- antysymetryczność:
- [x,y] = − [y,x],
- tożsamość Jacobiego
- .
[edytuj] Przykłady
[edytuj] Przemienna algebra Liego
Dowolna przestrzeń liniowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dowolnych dwóch elementów jako równy zero, jest algebrą Liego. Taką algebrę Liego nazywamy przemienną lub abelową.
[edytuj] Iloczyn wektorowy
Nawias Liego w przestrzeni definiujemy jako iloczyn wektorowy elementów. Łatwo sprawdzić, że takie działanie spełnia warunki z definicji algebry Liego.
[edytuj] Komutator
Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której definiujemy nawias Liego jako komutator, czyli
- [a,b] = ab − ba.
Komutator automatycznie spełnia wszystkie trzy warunki z definicji nawiasu Liego.
Szczególnymi przypadkami tego rodzaju algebr Liego są:
- algebra
- zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru n o elementach zespolonych:
- algebra
- podalgebra macierzy o śladzie równym zeru;
- algebra
- podalgebra macierzy antyhermitowskich;
- algebra
- podalgebra będąca przecięciem dwóch powyższych;
- algebra
- algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru n o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.
[edytuj] Generatory
Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów grupy do definicji bazy przestrzeni liniowej.
Algebra Liego rozpięta jest na zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) X = xiei. Jest ona zdefiniowana przez wszystkie możliwe komutatory generatorów
[ei,ej] = | ∑ | fi,j,kek |
k |
.
Współczynniki fi,j,k nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra (grupa) jest nazywana abelową lub przemienną.
[edytuj] Przykłady
[edytuj] Przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej
Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez X,Y,Z. Algebra Liego tej grupy to
- [X,Y] = [Y,Z] = [Z,X] = 0.
Jest to więc grupa przemienna.
[edytuj] Obroty w przestrzeni trójwymiarowej
Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez e1, e2, e3. Algebra Liego tej grupy:
- [e1,e2] = e3,
- [e2,e3] = e1,
- [e3,e1] = e2.
Stałe strukturalne fi,j,k = εi,j,l określone są przez symbol Leviego-Civity w następujący sposób:
- fi,j,k = 1, gdy permutacja (123) jest parzysta,
- fi,j,k = − 1, gdy permutacja ta jest nieparzysta,
- fi,j,k = 0, gdy któryś ze wskaźników się powtarza.
Jeżeli obrócimy układ o w prawo wokół osi Ox oraz w prawo wokół osi Oy, a następnie w lewo wokół osi Ox i w lewo wokół osi Oy, to nie wrócimy do punktu wyjścia – układ będzie obrócony o w lewo wokół osi Oz oraz w lewo wokół osi Oy w stosunku do układu początkowego. Nie jest to więc grupa abelowa.
[edytuj] algebra
Zbiór bezśladowych macierzy wymiaru rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego σi (macierze te używane są także do opisu cząstek ze spinem połówkowym). Generatorami algebry są
Algebra jest algebrą Liego grupy SU(2) oraz grupy grupy SO(3) – grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.