IFS (geometria fraktalna)

Z Wikipedii

Paproć Barnsleya wygenerowana za pomocą systemu IFS

IFS (z ang. iterated function system) zwany też systemem funcji iterowanych, systemem iterowanych kontrakcji albo przekształceń zwężających to rodzina funkcji za pomocą której konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach kompresji danych, zwłaszcza graficznych (grafika fraktalna).

Spis treści

1 Definicja
2 Metoda iteracji
3 Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa
4 Przykłady
5 Literatura
6 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja

Załóżmy dla pewnego ustalonego $m\in \mathbb{N}$ , m>2, mamy rodzinę funkcji F_i, i=1,2,..m, określoną na pewnym podzbiorze $X\subset \mathbb{R}^d$ . Załóżmy ponadto że każda funkcja jest kontrakcją o skali r_i<1, tzn.

$|F_i(x) - F_i(y)| \le r_i|x-y|.$

Istnieje wówczas dokładnie jeden niepusty zbiór zwarty K taki, że

$K=\bigcup_{i=1}^m F_i(K)$ .

Zbiór ten nazywamy atraktorem danego IFS, często - choć nie zawsze - jest to interesujący fraktal. Powyższe zaś twierdzenie dostarczające metody konstrukcji fraktali określa się ogólnie jako IFS. W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji F_i.

[edytuj] Metoda iteracji

Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie F, które dany zbiór A zmienia w sumę obrazów przez $F i$ , tzn.

$F(A) = \bigcup_{i=1}^m F_i(A),$

to wówczas kolejne obrazy F(A), F(F(A)), F(F(F(A))... będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego zbioru początkowego A zaczniemy. Dokładniej,

$F^k(A) \to K$