Trójkąt Sierpińskiego

Z Wikipedii

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.^[1]

Trójkat Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby^[2].

Spis treści 1 Definicja formalna 1.1 Reprezentacja cyfrowa 2 Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos 3 Zobacz też 4 Linki zewnętrzne 5 Przypisy

[edytuj] Definicja formalna

Niech T będzie trójkątem ABC.

• Dzieląc T na cztery mniejsze trójkąty T₁,T₂,T₃ i S, gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta S, traktując S jako zbiór otwarty, a trójkąty T_i za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: S i . Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
• Każdy trójkąt T_i dzieli się na cztery mniejsze trójkąty T_i,1,T_i,2,T_i,3 i S_i w podobny sposób.
• Każdy trójkąt T_i,j dzieli się na cztery mniejsze trójkąty T_i,j,1,T_i,j,2,T_i,j,3 i S_i,j, i tak dalej.

Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru

Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3 / ln 2 = 1.585...

[edytuj] Reprezentacja cyfrowa

Każdy ciąg (gdzie ) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze . Odwrotnie, dla każdego punktu P można znależć taki ciąg określający ten punkt, tzw reprezentację cyfrową punktu P. Podobnie jak w przypadku liczb rzeczwistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju ma reprezentację i jednocześnie reprezentację .

[edytuj] Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC, i definiujmy D₀ := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D_n i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D_n+1. Każdy punkt D_n będzie należeć do trójkąta Sierpinskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D₀, D₁,...}.

Jeśli wybieramy D₀ nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D₀ należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt D_n do tego trójkata nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D₀, D₁, ...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• zbiór Cantora
• dywan Sierpińskiego
• piramida Sierpińskiego
• kostka Mengera
• gra w chaos
• fraktal

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Trójkąt Sierpińskiego (en) w encyklopedii MathWorld

Przypisy

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.