Inwolucja (matematyka)
Z Wikipedii
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Inwolucja – w matematyce to funkcja 
, która jest funkcją odwrotną do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego 
należącego do dziedziny funkcji 
zachodzi warunek 
dla każdego 
.
Ogólniej, w teorii kategorii morfizm 
nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy 
.
[edytuj] Własności
- Każda inwolucja jest bijekcją (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
- n-krotne złożenie inwolucji dla parzystych n jest tożsamością:
dla dowolnego z dziedziny .
- n-krotne złożenie inwolucji dla nieparzystych n jest jest tą samą funkcją:
dla dowolnego z dziedziny .
Podobnie 
oraz 
dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego .
- Niech X oraz Y będą dowolnymi zbiorami. Niech F := F(X, Y) bedzie zbiorem wszystkich funckcji zbioru X w zbiór Y. Niech s : Y → Y będzie inwolucją. Wtedy funkcja S : F → F, dana wzorem:
dla dowolnego f ε F, jest inwolucją. Podobnie, niech Z będzie zbiorem, oraz G := F(Y, Z). Zdefiniujmy T : G → G za pomocą wzoru:
dla dowolnego g ε G. Wtedy T : G → G jest inwolucją.
Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii.
[edytuj] Przykłady
- Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe.
- Inwolucją jest funkcja s : A × A → A × A, kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:
-
-
- s(x, y) := (y, x) dla każdego (x, y) ε A × A.
-
Zbiorem punktów stałych inwolucji s jest przekątną
- Δ A := { (x, x) : x ε A }.
Wiele inwolucji jest indukowanych przez inwolucję typu s, na przykład transpozycja macierzy (samo s jest z kolei indukowane przez transpozycję zbioru 2-elementowego. t.zn. 2 osi).
- Zmiana znaku
jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...) - Odwrotność
jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera. - W geometrii inwolucjami są symetrie (osiowa, środkowa) oraz inwersja
- W rachunku zbiorów inwolucją jest dopełnienie zbioru.
- W rachunku zbiorów różnica symetryczna z ustalonym zbiorem. (bo
). Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce. - W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.
- W zbiorze liczb zespolonych (a także kwaternionów) inwolucją jest sprzężenie.
- W algebrze boole'a inwolucją jest dopełnienie.
- W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie.
[edytuj] Geometria
W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie zwierciadlane, osiowe, środkowe, a także inwersja. Izometrie zwierciadlane zmieniają orietację przestrzeni. Izometria środkowa zmienia orientację nieparzystowymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale zachowuje parzystowymiarowej.
Twierdzenie (Bourbaki). Każda izometria n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej n+1 symetrii zwierciadlanych.
Złożenia parzystej liczby izometrii zwierciadlanych zachowują orientację przestrzeni euklidesowej, a nieparzystej liczby – zmieniają.
Inwolucje są obiektem głębikich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład [1].
[edytuj] Teoria grup
Inwolucją nazywamy element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu 1 czyli element neutralny).
Pojęcie to bierze się stąd, że zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru tworzy grupę. W grupie tej inwolucje to elementy rzędu 2 i 1.
- Permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2. W szczególności, transpozycja dwóch elementów jest inwolucją. Każda permutacja zbioru n-elementowego (n - liczba naturalna) jest złożeniem co najwyżej n-1 transpozycji, a więc inwolucji.
- Grupy Coxetera są generowane przez inwolucje (t.j. przez elementy rzędu 2). [2]
