Działanie grupy na zbiorze

Z Wikipedii

Działanie grupy na zbiorze – homomorfizm grupy w grupę permutacji pewnego zbioru. Pierwszym studiowanym działaniem grupy na zbiorze było działanie grup Galois na zbiorach pierwiastków wielomianu. We współczesnej matematyce pojęcie to pojawia się także poza algebrą, np. w topologii czy geometrii (niezmienniczość działania grup na obiektach geometrycznych jest główną ideą tzw. programu erlangeńskiego Feliksa Kleina).

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
- 1.2 Działanie grupy na zbiorze a homomorfizmy w grupę permutacji
2 Przykłady
3 Stabilizator i orbita elementu
4 G-izomorfizm
5 Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne
- 5.1 Przykłady zastosowania
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Mówimy, że grupa $G$ działa na zbiorze $X$ jeśli dane jest odwzorowanie

$G\times X\to X,\; (g,x)=gx$

spełniające warunki:

$g (h x) = (g h) x$ dla wszystkich $g,h\in G,\, x\in X$
$1 x = x$ dla wszystkich $x\in X$

[edytuj] Uwagi

Każdy element $h\in G$ wyznacza odwzorowanie $\overline{h}\colon X\to X$

$\overline{h}(x)=hx$ .

Odwzorowanie to jest różnowartościowe, bo jeśli $h x = h y$ , to również $h - 1 (h x) = h - 1 (h y)$ , a zatem na mocy warunku 1. $(h - 1 h) x = (h - 1 h) y$ , skąd (na mocy warunku 2.) $x = y$ . Odwzorowanie to jest także suriektywne - wynika to z faktu, że $x = g - 1 (g x)$ dla dowolnego elementu $g\in G$ . Ponieważ odwzorowanie $\overline{h}$ jest bijekcją, istnieje do niego odwzorowanie odwrotne - wyraża się ono wzorem $\overline{h^{-1}}$ .

[edytuj] Działanie grupy na zbiorze a homomorfizmy w grupę permutacji

Odwzorowanie $G\to S(X)$ , gdzie $S (X)$ oznacza grupę permutacji zbioru $X$ (grupę wszystkich bijekcji tego zbioru w siebie z działaniem składania), dane przez $h\mapsto \overline{h}$ jest homomorfizmem grup. Istotnie

$\overline{hg}(x)=(hg)x=h(gx)=\overline{h}(\overline{g}(x))=\overline{h}\circ \overline{g}(x)$ ,

dla dowolnych $g,h\in G$ oraz $x\in X$ . Z drugiej strony, każdy homomorfizm $\varphi\colon G\to S(X)\, \varphi(h)=\overline{h}$ wyznacza działanie grupy $G$ na zbiorze $X$ poprzez odwzorowanie $G\times X\to X$

$(h,x)\mapsto hx=\overline{h}(x),\, h\in G,\, x\in X$ .

Istnieje zatem wzajemna jednoznaczność między homomorfizmami grupy $G$ w grupę $S (X)$ i działaniami grupy $G$ na zbiorze $X$ , zatem dowolny homomorfizm $G\to S(X)$ można nazywać działaniem grupy na zbiorze.

[edytuj] Przykłady

Jeśli $X$ jest niepustym zbiorem, a $G = S (X)$ , to odwzorowanie $S(X)\times X\to X$ dane wzorem $(σ, x) = σ(x)$ jest działaniem grupy na zbiorze. Odwzorowaniu temu odpowiada homomorfizm identycznościowy.
Reprezentacje grup. Niech $K$ będzie ciałem i $n\in\mathbb{N}$ . Macierz $A\in K^n_n$ wyznacza przekształcenie liniowe przestrzeni liniowej $K n$ w siebie. Pełną grupę liniową $\operatorname{GL}(n,K)$ można traktować zatem jako grupę przekształceń zbioru $K$ . Każdy homomorfizm $\varphi\colon G\to \operatorname{GL}(n,K)$ wyznacza działanie grupy $G$ na przestrzeni $K n$ . Działanie te nazywamy reprezentacjami grupy $G$ w przestrzeni $K n$ . Jeśli $\varphi$ jest różnowartościowy, to reprezentację nazywamy wierną. Ogólniej, jeśli działanie grupy na zbiorze wyznaczone jest przez pewien homomorfizm różnowartościowy, to działanie takie nazywa się wiernym.

[edytuj] Stabilizator i orbita elementu

Nazwy te nawiązują do intuicji astronomicznych/geometrycznych dotyczących badania ruchów. Stabilizator elementu zbioru to zbiór elementów grupy, które nie „ruszają” zbioru, stąd stabilizator całego zbioru (inna nazwa grupa izotropii; isos – równy, jednakowy, trópos – zwrot, obrót) to te elementy, które „nie ruszają” (stabilizują) elementów zbioru. Jeżeli tylko element neutralny grupy ma tę własność, to mówi się o efektywności działania. Punkty stałe nie są „ruszane” przez żaden element działającej grupy, dlatego ich stabilizatorem jest cała grupa.

Podobnie orbity, które są rozłączne. Dodatkowo element zbioru może przejść (po zadziałaniu grupy na zbiór) wyłącznie na element należący do tej samej orbity. Jeśli istnieje tylko jedna orbita (czyli dowolny element może przejść na każdy inny), to działanie jest wierne.

[edytuj] Definicja

Załóżmy, że grupa $G$ działa na zbiorze $X$ oraz niech $x\in X$ . Zbiór

$G_x=\{g\in G\colon\, gx=x\}$

nazywamy stabilizatorem elementu $x$ . Zbiór

$\operatorname{Stab}(X)=\{g\in G\colon\, gx=x$ dla każdego $x\in X\}$

nazywamy stabilizatorem zbioru $X$ , natomiast zbiór

$G(x)=\{gx\colon\, g\in G\}$

nazywamy orbitą elementu $x$ . Jeżeli $\operatorname{Stab}(X)=\{1\}$ , to mówimy, że grupa $G$ działa efektywnie na zbiorze $X$ .

[edytuj] Własności

Stabilizator zbioru $X$ jest podgrupą normalną grupy $G$ . Ponadto

$\operatorname{Stab}(X)=\bigcap\{G_x\colon \, x\in X\}$ .

Grupa ilorazowa $G/\operatorname{Stab}(X)$ również działa na zbiorze $X$ . Działanie to jest efektywne.

Stabilizator $G x$ każdego elementu $x$ jest podgrupą grupy $G$ i zwany jest czasem grupą izotropii. Oczywiście,

| G (x) | = [G : G x]

(zob. definicję indeksu)

Relacja w zbiorze $X$ , określona w sposób:

$x\sim y \iff$ istnieje $g\in G$ takie, że

y = g x

jest relacją równoważności. Klasami abstrakcji tej relacji są właśnie orbity elementów. Dwie klasy abstrakcji są albo równe albo rozłączne, skąd orbity elementów $x$ i $y$ są albo równe albo rozłączne. Ponadto, jeśli $y = g x$ dla pewnego $g\in G$ , to $g G x g - 1 = G y$ . Dla dowolnego elementu $x\in X$ prawdziwa jest zależność:

$|G|=|G_x|\cdot |G(x)|$ .

Wynika stąd, że jeśli $G$ jest skończona, to liczba elementów każdej orbity dzieli rząd tej grupy.

[edytuj] Działanie przechodnie

Mówimy, że grupa $G$ działa przechodnio na zbiór zbiór $X$ , jeśli dla wszystkich elementów $x,y\in X$ istnieje $g\in G$ , że $y = g x$ . Równoważnie, grupa działa przechodnio na zbiór wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze istnieje dokładnie jedna orbita.

Na przykład, grupa $D (3)$ , czyli grupa wszystkich izometrii trójkąta równobocznego działa przechodnio na zbiorze $X = {1,2,3}$ .

[edytuj] Równanie klas

Jeśli grupa skończona $G$ działa na zbiorze skończonym $X$ oraz $\{x_1\ldots, x_n\}$ jest zbiorem reprezentantów wszystkich orbit zbioru $X$ , to

$|X|=\sum_{k=1}^n[G:G_{x_k}]$ .

[edytuj] Punkt stały

Punktem stałym działania grupy $G$ na zbiorze $X$ nazywamy każdy punkt spełniający warunek

G (x) = {x}

Równoważnie, punkt $x\in X$ jest punktem stałym działa wtedy i tylko wtedy, gdy $g x = x$ dla każdego $g\in G$ albo $G x = G$ . Zbiór wszystkich punktów stałych oznacza się $X G$ .

[edytuj] G-izomorfizm

Załóżmy, że grupa $G$ działa na zbiorach $X$ i $Y$ . Mówimy, że są one $G$ -izomorficzne, jeżeli istnieje bijekcja $f\colon X \to Y$ taka, że

$f\left(gx\right) = g\left(f(x)\right)$ dla wszystkich $x\in X$ oraz $g\in G$ .

[edytuj] Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne

Niech $X = G$ (grupa będzie działać na samą siebie). Wówczas można określić działanie $G\times G\to G$ w następujący sposób:

(g, x) = g x g - 1 = : x g

Uwaga, w tym paragrafie użwyanie oznaczenia $(g, x) = g x$ mogłoby prowadzić do nieporozumień. Bijekcja $\overline{h}\in S(G)$ działa w następujący sposób:

$\overline{h}(x)=hxh^{-1}$ .

Łatwo sprawdzić, że jest ona automorfizmem wewnętrznym grupy $G$ . Orbity $\{x^g\colon\, g\in G\}=:x^G$ nazywa się klasami elementów sprzężonych, natomiast stabilizator $G_x=\{f\in G\colon\, fx=xf\}$ nazywa się centralizatorem elementu $x$ i oznacza $Z (x)$ .

Jeśli $G$ jest grupą skończoną, a $\{x_1,\ldots, x_n\}$ jest zbiorem reprezentantów klas elementów sprzężonych, to równanie klas przyjmuje postać

$|G|=\sum_{k=1}^n[G:Z(x_k)]$ .

Klasa $x G$ jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej element $x$ jest elementem centrum grupy $Z (G)$ . Korzystając z tego faktu, grupę $G$ można przedstawić w postaci

$G=Z(G)\cup x_1^G\cup\ldots\cup x_s^G$ ,

gdzie $|x_k^G|>1$ dla $1\leqslant k \leqslant s$ . Równanie klas przybiera wówczas postać

$|G|=|Z(G)|+\sum_{k=1}^s[G:Z(x_k)]$ .

[edytuj] Przykłady zastosowania

Równanie klas jest narzędziem dowodzenia wielu twierdzeń w teorii grup skończonych. Przykładem może być następujące twierdzenie:

Jeśli grupa

G

jest rzędu

p m

, gdzie

p

jest pewną liczbą pierwszą, to ma ona nietrywialne centrum. Ponadto, $|Z(G)|\geqslant p$ .

Dowód: Równanie klas dla grupy $G$ można zapisać w postaci

$p^m=|G|=|Z(G)|+\sum_{k=1}^s[G:Z(x_k)]$ ,

gdzie $|x_k^G|>1$ dla $1\leqslant k \leqslant s$ . Na mocy twierdzenia Lagrange'a, każdy indeks $[G : Z (x k)]$ jest dzielnikiem rzędu grupy, a więc pewną potęgą liczby $p$ . Wynika stąd, że i $| Z (G) |$ dzieli się przez $p$ .

Równanie klas można wykorzystać także w dowodzie twierdzenia Cauchy'ego i twierdzenia Sylowa.

[edytuj] Bibliografia

A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4
Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Teoria grup • Geometria

We provide Linux to the World

Działanie grupy na zbiorze

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Działanie grupy na zbiorze a homomorfizmy w grupę permutacji

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Stabilizator i orbita elementu

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Działanie przechodnie

[edytuj] Równanie klas

[edytuj] Punkt stały

[edytuj] G-izomorfizm

[edytuj] Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne

[edytuj] Przykłady zastosowania

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach