Kwadrat grecko-łaciński

Z Wikipedii

Kwadrat grecko-łaciński lub kwadrat Eulera rzędu n nad dwoma n-elementowymi zbiorami S i T - kwadratowa tablica o n wierszach i n kolumnach, zawierająca pary $(s, t)$ , gdzie $s\in S$ i $t\in T,$ taka że:

każdy wiersz i każda kolumna zawiera dokładnie jeden raz każdy element z S i dokładnie jeden raz każdy element z T oraz
żadne dwie komórki nie zawierają tej samej pary $(s, t)$

Autorem koncepcji jest Leonhard Euler, który używał zbiorów:

S = {A, B, C, …}, pierwsze n dużych liter z alfabetu łacińskiego,

T = {α , β, γ, …}, pierwsze n małych liter z alfabetu greckiego

Stąd nazwa kwadrat grecko-łaciński. Przykłady poniżej:


Rzędu 3	Rzędu 4	Rzędu 5

Układ samych łacińskich znaków a także układ samych greckich znaków w kwadracie grecko-łacińskim tworzą kwadrat łaciński. Kwadrat grecko-łaciński może zostać rozłożony na dwa ortogonalne kwadraty łacińskie. Ortogonalność oznacza tu, że każda para $(s,t)\;$ z iloczynu kartezjańskiego $S\times T$ wystąpi dokładnie raz.

[edytuj] Planowanie eksperymentów

Kwadraty grecko-łacińskie mają zastosowanie w planowaniu eksperymentów naukowych. Załóżmy, że mamy maksymalnie 4 nominalne zmienne, którymi możemy wpływać na wynik eksperymentu i każda z nich może przyjmować n wartości. Na przykład w badaniach medycznych zmiennymi mogą być:

podawany lek (jeden z trzech)
stopień nasilenia choroby (niski, średni lub wysoki)
wiek badanego (podzielony na trzy kategorie)
szpital, w którym przeprowadzane jest badanie (jeden z trzech)

Teraz wystarczy ułożyć kwadrat grecko-łaciński rzędu n (tutaj: 3), aby otrzymać plan $n 2$ eksperymentów. Każde pole kwadratu odpowiada jednemu z eksperymentów, kolumny to możliwe wartości pierwszej zmiennej, wiersze – drugiej zmiennej, litery łacińskie odpowiadają trzeciej zmiennej, a greckie czwartej.

Jeśli efekty wywołane przez każdą ze zmiennych są addytywne (to znaczy dodają się do ogólnego wyniku), to plan taki daje nieobciążone estymatory wpływu każdej możliwej wartości każdej z tych zmiennych na zmienną objaśnianą, choć możliwych kombinacji ich wartości jest o wiele więcej: $n 4$ . Znacząco obniża to koszt badania. Aby obliczyć wpływ danej wartości danej zmiennej, wystarczy uśrednić wyniki odpowiadających jej eksperymentów.

Kwadraty grecko-łacińskie mogą też być użyte do konstrukcji kwadratów magicznych.

[edytuj] Historia

W latach 80. XVIII wieku Euler pokazał metodę konstrukcji kwadratu grecko-łacińskiego, dla n nieparzystego oraz dla wielokrotności 4. Zauważywszy, że nie istnieje kwadrat rzędu 2 i nie potrafiąc skonstruować kwadratu rzędu 6 (tzw. problem 36 oficerów) postawił hipotezę, że nie istnieją kwadraty grecko-łacińskie rzędu $n=4k+2,\;$ gdzie $k=0,1,2,\dots$ Faktycznie nieistnienie kwadratu rzędu 6 zostało udowodnione w 1901 przez Gastona Tarry'ego przez siłowe sprawdzenie wszystkich możliwych układów. Hipoteza Eulera nadal nie była jednak ani udowodniona, ani obalona. W 1959 R.C. Bose i Shrikhande znaleźli pewne kontrprzykłady; później Parker znalazł kontrprzykład rzędu 10. W 1960 Parker, Bose i Shrikhande pokazali, że hipoteza Eulera jest fałszywa dla wszystkich $n\geq 10.\;$ . Ostatecznie okazało się, że istnieją kwadraty grecko-łacińskie każdego rzędu $n\geq 3.\;$ z wyjątkiem 6.