Liczby Bernoulliego
Z Wikipedii
Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako , gdzie jest numerem porządkowym liczby, k=0,1,2..., wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce "Ars Conjectandi" (wydanej po śmierci autora w roku 1713).Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: 110 + 210 + 310 + ... + 100010 "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza - podana niżej jako Definicja #1 i starsza - niżej cytowana jako Definicja #2, powoli wychodząca z użycia. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji #1 oznaczymy przez ,Bk, a według definicji starszej (Definicja #2) - przez . Przy tym liczby stanowią podzbiór właściwy liczb ,Bk.
[edytuj] Liczby Bernoulliego - Definicja #1
Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:
Szereg powyższy jest zbieżny dla | x | < 2π. Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:
gdzie
Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego, o indeksach nieparzystych większych od 2, są równe 0.
Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.
Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od :
[edytuj] Liczby Bernoulliego - Definicja #2
Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:
Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od :
Powiązanie pomiędzy liczbami i opisuje poniższy wzór:
[edytuj] Wzór asymptotyczny
Wykorzystując wzór Stirlinga otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:
[edytuj] Przykłady zastosowań
Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak i w innych.
Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:
Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:
W szczególności wynika stąd, że
Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:
Liczby Bernoulliego badano też m. in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.
[edytuj] Źródła
- Paulo Ribenboim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, Warszawa, WNT 1997 ISBN 83-204-2201-9
- J.H. Conway, R.K. Guy, Księga liczb, Warszawa, WNT 1999 ISBN 83-204-2366-X
- R.L. Graham,D.E.Knuth, O. Patashnik Matematyka konkretna, §6.5.: Liczby Bernoulliego, Warszawa, PWN 2006 ISBN 83-01-14764-4
- Strona w serwisie Mathworld (po angielsku)