Teoria liczb

Z Wikipedii

Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

Początki teorii liczb sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych (także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić).

Bujny rozwój teoria liczb zawdzięcza w wielkiej mierze Pierre'owi Fermatowi (1601-1665), autorowi słynnej hipotezy, zwanej Wielkim Twierdzeniem Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał Carl Friedrich Gauss. Z polskich matematyków znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali Wacław Sierpiński, Andrzej Schinzel i Henryk Iwaniec. Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław Wróblewski.

Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki: algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej i innych.

Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod teorii funkcji analitycznych. Jednym z najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb jest dowód Erdösa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na Lemacie Selberga). Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb p-adycznych.

[edytuj] Równania diofantyczne

Jednym z podstawowym problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb "modulo n": liczby a i b przystają modulo n, jeżeli ich różnica a-b dzieli się bez reszty przez n, co zapisuje się: a ≡ b (mod n).

Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: x² + y² = z². Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),.... Rozwiązania nie będące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. "rozwiązania właściwe" lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.

Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych (x, y, z) można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: $x = k 2 - l 2$ , $y = 2 k l$ , $z = k 2 + l 2$ ; gdzie k, l to liczby naturalne, przy czym k > l. Jeśli k i l są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.

Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako Re(z), Im(z), |z|, gdzie z jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module |z|.

Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

[edytuj] Podział teorii liczb

Główne działy teorii liczb, to algebraiczna teoria liczba, analityczna teoria liczb oraz geometryczna teoria liczb. Wyodrębnionymi działami są też elementarna teoria liczb i kombinatoryczna teoria liczb. Poddziałem analitycznej teorii liczb jest probabilistyczna teoria liczb. Ponadto dwa główne działy analitycznej teorii liczb to multyplikatywna teoria liczb i addytywna teoria liczb. Teoria liczb pierwszych zalicza się do multyplikatywnej teorii liczb, a twierdzenie Lagrange'a: każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb całkowitych, jest przykładem wyniku należącego do addytywnej teorii liczb (ale także do elementarnej). Także teoria liczb niewymiernych zalicza się do analitycznej teorii liczb, ale ma zastosowania do równań diofantycznych, które z kolei są częścią algebraicznej teorii liczb.