Lodovico Ferrari

Z Wikipedii

Lodovico Ferrari (ur. 2 lutego 1522 w Bolonii, zm. 5 października 1565 tamże) – matematyk włoski, odkrywca metody rozwiązywania równań czwartego stopnia.

[edytuj] Biografia

Po przedwczesnej śmierci ojca, Aleksandra Ferrari, Lodovico zamieszkał u swego stryja Vincenta. Stryjeczny brat Lodovica podjął pracę służącego u Girolamo Cardano, jednak samowolnie porzucił tę posadę po dość krótkim czasie. Cardano zażądał od Vincenta aby przysłał mu syna z powrotem do służby, ten jednak wysłał swego bratanka Lodovica. W ten sposób, w wieku lat czternastu, Lodovico został służącym i pomocnikiem Cardano. Ten ostatni, po odkryciu że Lodovico potrafi czytać i pisać, uczynił nastoletniego Lodovico swoim asystentem i studentem.

W 18. roku życia Lodovico zaczął uczyć matematyki, a w 1541 objął posadę wykładowcy geometrii w Fundacji Piatti (pozycję tę wcześniej zajmował Cardano).

Z racji swojej pozycji u boku Cardano a także wkładu w rozwiązywanie równań był uwikłany w spór pomiędzy Cardano i Tartaglią. Po opublikowaniu przez Cardano dzieła Ars Magna, Tartaglia starał się wezwać Cardano do publicznej debaty i zawodów matematycznych. Do ich "pojedynku" nigdy nie doszło, natomiast Tartaglia i Ferrari wymienili wiele oskarżeń i obraz w listach otwartych pisanych przy tej okazji. W dniu 10. sierpnia 1548, w Mediolanie, doszło do debaty pomiędzy Tartaglią i Ferrari. Z formalnego punktu widzenia, potyczka nie została rozstrzygnięta bowiem Tartaglia opuścił miasto przed jej ukończeniem. Jednak obserwujący zawody uznali, że Lodovico Ferrari posiada wiedzę i zrozumienie równań stopni 3 i 4 daleko przewyższającą wszystkich innych. Przyniosło to sporą sławę i uznanie młodemu Lodovico.

Po debacie Ferrari dostał wiele ofert pracy, akceptując posadę urzędnika podatkowego przy gubernatorze Mediolanu. W 1565 uzyskał pozycję profesora na Uniwersytecie Bolońskim.

[edytuj] Równania czwartego stopnia

W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Tartaglię pozwało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Cardano w Ars Magna w 1545.

W XVI wieku w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych, więc rozważane równania miały wiele nierównoważnych form (w celu zapewnienia dodatniości współczynników). Na przykład, równanie $a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$ było uważane za różne od równania $a x 4 + b x 3 = c x 2 + d x + e$ . Wszystkie 20 przypadków równań czwartego stopnia zostały w pełni opisane i rozwiązane w Ars magna.

Używając współczesnych oznaczeń, naszkicujemy metodę Ferrari zastosowaną do równania

(i)

u 4 + p u 2 + q u + r = 0

(Równanie $a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$ może być zredukowane do powyższego przez podzielenie obu stron przez a i podstawienie $x=u-\frac{b}{4a}$ )

Równanie (i) przekształcamy do $u 4 + 2 p u 2 + p 2 = p u 2 - q u - r + p 2$ , a następnie

(ii)

(u 2 + p) 2 = p u 2 - q u - r + p 2

Używając równania (ii), dla liczby $v$ możemy napisać następujące równości

(iii)

(u 2 + p + v) 2 = (u 2 + p) 2 + 2 v (u 2 + p) + v 2 =

p u 2 - q u - r + p 2 + 2 v (u 2 + p) + v 2 =

(p + 2 v) u 2 - q u + (p 2 - r + 2 p v + v 2)

, czyli

(iv)

(u 2 + p + v) 2 = (p + 2 v) u 2 - q u + (p 2 - r + 2 p v + v 2)

Wybierzmy liczbę $v$ tak aby

(v)

( - q) 2 - 4(p + 2 v)(p 2 - r + 2 p v + v 2) = 0.

Aby to uczynić, przekształcamy równanie (v) do

(vi)

(q 2 - 4 p 3 + 4 p r) + ( - 16 p 2 + 8 r) v - 20 p v 2 - 8 v 3 = 0

co jest równaniem stopnia trzeciego (które może być rozwiązane metodami del Ferro i Tartaglii). Lewa strona równania (v) to wyróżnik wyrażenia kwadratowego $(p + 2 v) u 2 - q u + (p 2 - r + 2 p v + v 2)$ (gdzie zmienną wolną jest $u$ ). Zatem, przy naszym wyborze $v$ , wyrażenie $(p + 2 v) u 2 - q u + (p 2 - r + 2 p v + v 2)$ jest pełnym kwadratem i równanie (i) zostaje zredukowane do