Równanie kwadratowe

Z Wikipedii

Funkcja kwadratowa $\scriptstyle{f(x)=ax^2+bx+c}$ dla różnych wartości współczynników $\scriptstyle{a,b,c.}$ Miejsca przecięcia osi OX przez krzywą, to pierwiastki równania kwadratowego

Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne z jedną niewiadomą, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze,czyli to równanie, które można zapisać w postaci

$ax^2+bx+c=0\,$

przy czym $a\neq 0$
a, b, c nazywamy współczynnikami równania.

Przykłady:

–2x² + 3x –1 = 0
x² + 2x = –4 (po uporządkowaniu: x² + 2x + 4 = 0)
4x² + 4x + 1 = 0

W przypadku gdy współczynniki równania są liczbami zespolonymi (w szczególności: liczbami rzeczywistymi) mamy następujące wzory na pierwiastki równania:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

gdzie Δ = b² – 4ac nazywane jest wyróżnikiem równania kwadratowego. W przypadku Δ = 0 mamy jedno rozwiązanie będące pierwiastkiem podwójnym. Warto zauważyć prawidłowość, że gdy delta jest równa 0 to lewa strona równania kwadratowego jest wzorem skróconego mnożenia np:
x² + 2x + 1 = 0 można zapisać jako (x+1)² = 0
Ułatwia to znalezienie pierwiastków, gdyż nie trzeba obliczać delty.

Jeżeli współczynniki równania kwadratowego są liczbami rzeczywistymi, to interesują nas zwykle rozwiązania będące również liczbami rzeczywistymi. Jeżeli:

Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa różne pierwiastki rzeczywiste);
Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty);
Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ma natomiast dwa rozwiązania zespolone, które są liczbami sprzężonymi.

Rozwiązania, jeżeli istnieją, dane są tymi samymi wzorami, co w przypadku zespolonym.

równanie z pierwszego przykładu ma dwa rozwiązania, bo 3² – 4·(–2)·(–1) = 1 > 0;
równanie z drugiego przykładu nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo tu Δ < 0;
równanie z przykładu trzeciego ma jedno rozwiązanie: 4² – 4·4·1 = 0.

Próby formalnego rozwiązywania równań kwadratowych o ujemnych wyróżnikach doprowadziły matematyków w XVI w. do idei liczby urojonej i liczby zespolonej sprecyzowanej ostatecznie pod koniec wieku XVIII.

Równania kwadratowe możemy rozwiązywać przy pomocy wyróżnika także nad skończonymi ciałami $\mathbb{Z}_p, p$ - liczba pierwsza.

Spis treści

1 Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
2 Rozwiązania zespolone (Δ < 0)
3 Przykład rozwiązania przez uzupełnienie do kwadratu
4 Zobacz też

[edytuj] Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

$ax^2+bx+c=0\,$

Stosujemy podstawienie $x=y-\frac{b}{2 \cdot a}$

$a \left( y-\frac{b}{2a}\right) ^2+b \left( y-\frac{b}{2a}\right) +c=0$

$ay^2-by+\frac{b^2}{4a}+by-2\frac{b^2}{4a}+c=0$

$ay^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$

$y^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej mianownik jest dodatni, liczba różnych pierwiastków rzeczywistych zależy od licznika i jest równa

$\sgn(b^2-4ac)+1\;$

gdzie $sgn(x)$ to funkcja signum.

Po spierwiastkowaniu obydwu stron:

$y=\pm \frac {\sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$x=y- \frac {b}{2a}=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

[edytuj] Rozwiązania zespolone (Δ < 0)

Gdy Δ < 0 to równanie ma dwa pierwiastki zespolone:

$\begin{align} x_1 &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {| \Delta|}}{2a} \\ x_2 &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {| \Delta|}}{2a} \end{align}$