Równanie czwartego stopnia
Z Wikipedii
Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci gdzie .
Spis treści |
[edytuj] Rys historyczny
W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccolo Tartaglię pozwało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolamo Cardano w Ars Magna w 1545.
[edytuj] Najprostsze typy równań
W pewnych przypadkach równanie
może być rozwiązane przy użyciu bardzo elementarnych metod.
[edytuj] Równanie dwukwadratowe
Jeśli , czyli gdy jest postaci
to równanie to nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby je rozwiązać, wystarczy podstawić t = x2. Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe at2 + ct + e = 0 które rozwiązujemy używając formuły kwadratowej.
[edytuj] Równanie zwrotne
Jeśli oraz , czyli gdy jest postaci
to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązujemy je dzieląc obie strony równania przez x2 i otrzymując
- a(x2 + x − 2) + b(x + x − 1) + c = 0
Podstawiając y = x + x − 1 mamy x2 + x − 2 = y2 − 2 i otrzymujemy równanie kwadratowe
- a(y2 − 2) + by + c = 0
z którego możemy obliczyć y a potem możemy wyznaczyć x .
[edytuj] Pierwszy etap: redukcja przypadku ogólnego
Wykażemy teraz, że równanie może być zredukowane do równania postaci
- .
Wychodząc z równania dzielimy obie strony przez a, otrzymując:
- (i)
Następnie stosujemy podstawienie prowadzące do:
- (ii) .
Po wymnożeniu dostajemy:
- (iii)
a po poszeregowaniu zmiennych, wedle wykładników potęgowych równanie przybiera postać:
- (iv)
Oznaczamy teraz
i równanie zostało sprowadzone do postaci:
- .
[edytuj] Rozwiązywanie równania zredukowanego
Omówimy teraz metodę rozwiązywania równań postaci
- .
Jeśli wtedy równanie jest równaniem dwukwadratowym omawianym wcześniej. Jeśli nie, to stosujemy procedurę opisaną w tej sekcji.
Zwróćmy uwagę, że jeśli znajdziemy jeden pierwiastek u0 równania , to możemy na mocy tzw twierdzenia Bézout możemy podzielić wielomian u4 + pu2 + qu + r przez u − u0, redukując nasze równanie do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie możemy znaleźć wszystkie rozwiązania równania . Poniżej najpierw przedstawimy metodę znajdywania jednego pierwiastka naszego równania, a pózniej bardziej szczegółowo opiszemy sposób na znajdywanie wszystkich rozwiązań tego równania.
[edytuj] Jak znaleźć jeden pierwiastek
Wprowadźmy na jakiś czas trzy dodatkowe zmienne t,v,w wymagając że spełniają one równanie
- t + v + w = 2u
Wówczas
- t2 + v2 + w2 + 2(tv + tw + vw) = 4u2, a stąd
- .
Mnożąc obie strony przez 16 i podstawiając wyrażenia na u,u2,u4 dane przez powyższe równania otrzymujemy następujące równanie:
Zwróćmy uwagę, że każda trójka liczb t,v,w spełniająca równanie da nam rozwiązanie u równania . Nietrudno jest spostrzec, że jeśli liczby t,v,w spełniają równania
- (a) tvw = − q,
- (b) t2 + v2 + w2 = − 2p,
- (c) t2v2 + t2w2 + v2w2 = p2 − 4r,
to spełniają one również równanie . Jeśli równanie (a) przekształcimy do
- (d) t2v2w2 = q2,
to układ równań (b)-(d) może być interpretowany jako wzory Viète'a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia znajdujemy pierwiastki z1,z2,z3 tak zwanego równania rozwiązującego:
- .
Niech
- t będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z1,
- v będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z2, a
- w będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby , przy którym będzie spełnione równanie (a) powyżej.
(Ponieważ , to i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby spełniają równania (a)-(c), a zatem również równanie . Otrzymujemy więc rozwiązanie równania :
- .
[edytuj] Jak znaleźć wszystkie pierwiastki
Rozważmy równanie rozwiązujące
i oznaczmy jego pierwiastki jako z1,z2,z3. Następnie wyznaczamy liczby t1,v1,w1 tak że t2 = z1, v2 = z2,, w2 = z3 oraz tvw = − q. Wówczas liczby t1,v1,w1 spełniają równania (a)-(c), a zatem również równanie . Mamy więc
- oraz
a stąd
Teraz zauważmy, że
- = 16(u4 + pu2 + qu + r).
(Dla ostatniej równości używamy równań oraz t1v1w1 = − q.) Otrzymaliśmy więc równanie
z którego natychmiast widzimy, że liczby
- ,
- ,
spełniają równanie . Są to wszystkie pierwiastki tego równania.
[edytuj] Obserwacja
Równanie ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste, wtedy i tylko wtedy gdy równanie ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.
- Dowód
- Zauważmy, że na mocy naszych równań mamy
(gdzie, pamiętajmy, są pierwiastkami równania ).
[edytuj] Źródła
- Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, "Monografie Matematyczne" Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
- Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive (en)
- Równania w serwisie matematyka.pl
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- równanie kwadratowe
- równanie trzeciego stopnia
- równanie zwrotne