Web - Amazon

We provide Linux to the World

We support WINRAR [What is this] - [Download .exe file(s) for Windows]

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
SITEMAP

Audiobooks by Valerio Di Stefano: Single Download - Complete Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Alphabetical Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Download Instructions

Make a donation: IBAN: IT36M0708677020000000008016 - BIC/SWIFT: ICRAITRRU60 - VALERIO DI STEFANO or
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Metoda Romberga - Wikipedia, wolna encyklopedia

Metoda Romberga

Z Wikipedii

Metoda Romberga – jedna z metod całkowania numerycznego, opierająca się na metodzie ekstrapolacji Richardsona, pozwalająca przybliżać wartość całki:

$\! \int\limits_a^b f(x)dx$

nieznanej (jawnie) funkcji f. Funkcja ta jest zazwyczaj znana tylko na dyskretnym zbiorze argumentów (np. jako wynik pomiarów stanu urządzenia (wartość funkcji) dla różnych stanów (argument funkcji)).

Niech dany będzie zbiór $\! x_0=a,x_2,\cdots x_{2^i}=b$ dzielących przedział (a,b) na $\! 2^i$ równych części taki, że znane są wartości funkcji funkcji $\! f(x_i)=y_i$

Niech $\! h_i=\frac{b-a}{2^i}$ , oznacza długość kroku.

Metodę Romberga można opisać rekurencyjnie:

$\left\{ \begin{matrix} R_{0,i} &: R_{2^i}=h_i\cdot \sum_{k=0}^{2^i-1}(\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2})\\ \ \\ \ R_{m,i} &: \! \frac{4^m\cdot R_{m-1,i+1}-R_{m-1,i}}{4^m-1} \end{matrix} \right.$

$\! R_{0,i}$ jest wzorem trapezów, po obliczeniu pierwszego wiersza tzw. tablicy Romberga, kolejne kolumny obliczane są rekurencyjnie, otrzymując coraz lepsze przybliżenie funkcji:

$\! R_{0,0}$

$\! R_{0,1}$ $\! R_{1,0}$

$\! R_{0,2}$ $\! R_{1,1}$ $\! R_{2,0}$

$\! R_{0,3}$ $\! R_{1,2}$ $\! R_{2,1}$ $\! R_{3,0}$ ...

...

[edytuj] Przykład wykorzystania metody Romberga

Załóżmy, że dane są wyniki pomiarów pewnej funkcji w punktach $\! x_0, x_1, x_2,x_3,x_4$

$x i$	0	0.25	0.5	0.75	1
$y i$	1	2	2	0	1

Dla tego przypadku:

$\! i=2$
$\! a\ =\ 0$
$\! b\ =\ 1$
$h_0\ =\ \frac{1-0}{1}\ = 1$
$h_1\ =\ \frac{1-0}{2}\ = 0.5$
$h_2\ =\ \frac{1-0}{2^2}\ = 0.25$

Ponieważ i=2 poszukiwana będzie tablica Romberga typu:

$\! R_{0,0}$

$\! R_{0,1}$ $\! R_{1,0}$

$\! R_{0,2}$ $\! R_{1,1}$ $\! R_{2,0}$

Obliczenie pierwszej kolumny tablicy Romberga:

$R_{0,0}\ =\ h_0\cdot \sum_{k=0}^{0} \frac{f(x_k)\ +\ f(x_{k+1})}{2}\ =\ \frac{1+2}{2}\ =\ 1.5$

$R_{0,1}\ =\ h_1\cdot \sum_{k=0}^{1} \frac{f(x_k)\ +\ f(x_{k+1})}{2}\ =\ 0.5\cdot(\frac{1+2}{2}\ +\ \frac{2+2}{2})\ =\ 1.75$

$R_{0,2}\ =\ h_2\cdot \sum_{k=0}^{2} \frac{f(x_k)\ +\ f(x_{k+1})}{2}\ =\ 0.25\cdot(\frac{1+2}{2}\ +\ \frac{2+2}{2}\ +\ \frac{0+1}{2})\ =\ 1$

Oraz kolejnych wyrazów korzystając z poprzednich wyników:

$R_{1,0}\ =\ \frac{4^1\cdot R_{0,1}\ -\ R_{0,0}}{4^1\ -\ 1}\ =\ 1.833$

$R_{1,1}\ =\ \frac{4^1\cdot R_{0,2}\ -\ R_{0,1}}{4^1\ -\ 1}\ =\ 0.75$

$R_{2,0}\ =\ \frac{4^2\cdot R_{1,1}\ -\ R_{1,0}}{4^2\ -\ 1}\ =\ 0.6778$

[edytuj] Błąd metody Romberga

Błąd, tj. przekłamanie wyniku otrzymanego metodą Romberga względem wyniku prawdziwego wynosi : $O\left(h^{2^{m+1}}\right).$

[edytuj] Dowód

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką i informatyką. Jeśli możesz, rozbuduj go.

Kategorie: Zalążki sekcji artykułów • Zalążki artykułów - matematyka • Zalążki artykułów - informatyka • Algorytmy numeryczne

Views

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

Powered by MediaWiki

Wikimedia Foundation

Ostatnia edycja tej strony: 02:49, 1 cze 2008 (autor zmian: Użytkownik Wikipedia – TXiKiBoT) Inni autorzy: Użytkownicy Wikipedia: VolkovBot, DodekBot, A., Sunridin.bot, Bocianski, Rnm, Yenidai, Mario58, YurikBot, Googl oraz ABach oraz Anonimowy użytkownik/cy Wikipedii.
Tekst udostępniany na licencji GNU Free Documentation License. (patrz: Prawa autorskie)
Wikipedia® jest zarejestrowanym znakiem towarowym Wikimedia Foundation. Możesz przekazać dary pieniężne Fundacji Wikimedia.
O Wikipedii
Informacje prawne

Our "Network":

Project Gutenberg
https://gutenberg.classicistranieri.com

Encyclopaedia Britannica 1911
https://encyclopaediabritannica.classicistranieri.com

Librivox Audiobooks
https://librivox.classicistranieri.com

Linux Distributions
https://old.classicistranieri.com

Magnatune (MP3 Music)
https://magnatune.classicistranieri.com

Static Wikipedia (June 2008)
https://wikipedia.classicistranieri.com

Static Wikipedia (March 2008)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com/mar2008/

Static Wikipedia (2007)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com

Static Wikipedia (2006)
https://wikipedia2006.classicistranieri.com

Liber Liber
https://liberliber.classicistranieri.com

ZIM Files for Kiwix
https://zim.classicistranieri.com

Other Websites:

Bach - Goldberg Variations
https://www.goldbergvariations.org

Lazarillo de Tormes
https://www.lazarillodetormes.org

Madame Bovary
https://www.madamebovary.org

Il Fu Mattia Pascal
https://www.mattiapascal.it

The Voice in the Desert
https://www.thevoiceinthedesert.org

Confessione d'un amore fascista
https://www.amorefascista.it

Malinverno
https://www.malinverno.org

Debito formativo
https://www.debitoformativo.it

Adina Spire
https://www.adinaspire.com