Metoda elementów skończonych
Z Wikipedii
Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego (MES, ang. FEM, finite-element method) – zaawansowana matematycznie metoda obliczeń fizycznych opierająca się na podziale obszaru (tzw. dyskretyzacja, ang. mesh), najczęściej powierzchni lub przestrzeni, na skończone elementy uśredniające stan fizyczny ciała i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału. Poza węzłami wyznaczana właściwość jest przybliżana na podstawie wartości w najbliższych węzłach.
Metodą pokrewną jest metoda całek brzegowych.
Jeśli obliczany model posiada symetrię kształtu i wymuszenia, wówczas można obliczyć tylko część obiektu celem szybszego uzyskania wyników, tak jak to przedstawino na rysunku po prawej stronie.
Spis treści |
[edytuj] Zastosowanie
Za pomocą metody bada się w mechanice komputerowej (CAE) wytrzymałość konstrukcji, symuluje odkształcenia, naprężenia, przemieszczenia, przepływ ciepła, przepływ cieczy.
Bada się również dynamikę, kinematykę i statykę maszyn, jak również odziaływania elektrostatyczne, magnetostatyczne i elektromagnetyczne.
Obliczenia MES mogą być przeprowadzane w przestrzeni dwuwymiarowej (2D), gdzie dyskretyzacja sprowadza się najczęściej do podziału obszaru na trójkąty. Rozwiązanie takie pozwala na obliczenie wartości pojawiających się w przekroju danego układu. Związane są z tym jednak pewne ograniczenia wynikające ze specyfiki rozwiązywanego problemu (np. kierunek przepływu tylko przenikający modelowaną powierzchnię, itp.)
Z uwagi na postęp techniki komputerowej w ostatnich latach większość pakietów symulacyjnych wyposażona jest w możliwość rozwiązywania zagadnień w przestrzeni trójwymiarowej (3D). Dyskretyzacja zazwyczaj polega na podziale obszaru na czworościany. Modelowanie takie pozbawione jest fundamentalnych ograniczeń technologii 2D, ale jest znacznie bardziej wymagające pod względem pamięci i mocy obliczeniowej komputera.
[edytuj] Podstawy matematyczne
Metoda oparta jest na poniższym równaniu macierzowym:
- [M][u"]+[C][u']+[K][u]=[F]
gdzie:
- [M] = suma([m]) - macierz bezwładności układu elementów skończonych równa sumie macierzy bezwładności poszczególnych elementów
- [C] = suma([c]) - macierz tłumienia układu elementów skończonych równa sumie macierzy tłumienia poszczególnych elementów
- [K] = suma([k]) - macierz sztywności układu elementów skończonych równa sumie macierzy sztywności poszczególnych elementów
- [u"] - macierz kolumna przyspieszeń poszczególnych węzłów układu
- [u'] - macierz kolumna prędkości poszczególnych węzłów układu
- [u] - macierz kolumna przemieszczeń poszczególnych węzłów układu
- [F] - macierz kolumna sił przyłożonych do ciała w węzłach układu elementów skończonych
Każdy element sąsiaduje tylko z kilkoma innymi elementami, dlatego też macierz wynikowa (a więc i układ równań do rozwiązania) jest bardzo rzadka. Z jednej strony powoduje to ułatwienie w postaci szybszego rozwiązania problemu (z uwagi na mniejszą ilość przetwarzanych danych), ale z drugiej wymaga specjalnych procedur zapewniających zbieżność rozwiązania.
[edytuj] Wady i zalety
Podstawową zaletą MES jest możliwość uzyskania wyników dla skomplikowanych kształtów, dla których niemożliwe jest przeprowadzenie obliczeń analitycznych. Oznacza to, że dane zagadnienie może być symulowane w pamięci komputera, bez konieczności budowania prototypu, co znacznie ułatwia proces projektowania.
Podział obszaru na coraz mniejsze elementy skutkuje zazwyczaj dokładniejszymi wynikami obliczeń, ale jest to okupione zwiększonym zapotrzebowaniem na moc obliczeniową komputera. Dodatkowo należy liczyć się z nakładającymi się błędami obliczeń wynikającymi z wielokrotnych przybliżeń (zaokrągleń) przetwarzanych wartości. Jeśli obszar składa się z kilkuset tysięcy elementów, które mają nieliniowe własności wówczas obliczenia muszą być odpowiednio modyfikowane w kolejnych iteracjach tak, aby końcowe rozwiązanie było poprawne. Dlatego też w wyjątkowych sytuacjach kumulujące się błędy obliczeniowe mogą okazać się niezaniedbywalne. Celem minimalizacji tych błędów pomiędzy różnymi wersjami tego samego problemu (np. zmiany parametrów materiałowych przy takich samych wymiarach) stosuje się identyczną dyskretyzację problemu tak, aby ewentualne błędy zaokrągleń były takie same, a ewentualne różnice w obliczeniach wynikały rzeczywiście ze zmian własności materiału.
Symulacje MES nie mogą być przeprowadzane w czasie rzeczywistym, ponieważ dla bardzo skomplikowanych układów rozwiązanie danego problemu może być bardzo długotrwałe (w zależności od stopnia skomplikowania i mocy obliczeniowej komputera czas ten może wynosić do kilku sekund do kilku dni, a nawet i dłużej). Dodatkowo, wartości obliczone metodą MES obarczone mogą być błędami, których wartość zależy od założeń przyjętych podczas formułowania problemu do rozwiązania, jak również i dokładności dostępnych danych materiałowych. Dlatego też, jeśli to tylko możliwe należy dane obliczone zweryfikować z danymi zmierzonymi na rzeczywistym urządzeniu lub układzie.
[edytuj] Pakiety obliczeniowe
Na rynku istnieje bardzo wiele komercyjnych pakietów oprogramowania, zazwyczaj wyspecjalizowanych w konkretnym zakresie obliczeń, np. naprężeń mechanicznych, przepływu ciepła lub oddziaływań elektromagnetycznych.
Następujące pakiety są dostępne jako Open Source: Z88, SLFFEA, YADE, FEniCS, deal.II, getFEM, libMesh, freeFEM, Elmer, Code-Aster i IMS.
- Diffpack
- Z88
- SLFFEA
- YADE
- FEniCS
- deal.II
- getFEM
- libMesh
- freeFEM
- Code-Aster
- Impact
- IMTEK Mathematica Supplement (IMS)
- Calculix
- Elmer
- OOFEM -- a darmowy, wolny, obiektowy pakiet MES ogólnego zastosowania
- IFER
[edytuj] Zobacz też
- metoda całek brzegowych
