Naprężenie

Z Wikipedii

Naprężenie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju:

$\vec s = \mathop {\lim_{A \to 0}} {{\vec F } \over A}$

gdzie: s - wektor naprężenia, F - wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju, A - pole przekroju.

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

$\vec s = \sigma \vec n + \vec \tau$

gdzie: σ - składowa normalna (prostopadła do powierzchni), n - wektor normalny do powierzchni, τ - składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

Spis treści

1 Kartezjański układ współrzędnych
2 Zapis tensorowy
3 Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe
4 Niezmienniki stanu naprężenia
5 Zobacz też
6 Linki zewnętrzne

[edytuj] Kartezjański układ współrzędnych

Wprowadzając w dowolnym punkcie¹ ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σ_x, τ_xy, τ_xz, σ_y, τ_yx, τ_yz, σ_z, τ_zx, τ_zy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Należy zwrócić uwagę, że na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi:

$\vec s = \sigma_z \vec k + \tau_{zx} \vec i + \tau_{zy} \vec j = \sigma \vec n + \vec \tau$

gdzie: k=n - wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i, j - wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki:

τ_xy = τ_yx
τ_xz = τ_zx
τ_yz = τ_zy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne równe są zero i występują wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia.

¹ Rozważając punkt ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.

[edytuj] Zapis tensorowy

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ. W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

$\vec s=\sigma_{ij} n^i \vec {g^j}$

gdzie: g - wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

$\vec{s} = \sigma \cdot \vec{n}$

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: $σ i j = σ j i$

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

$\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} {\sigma_x} & {\tau_{xy}} & {\tau_{xz}} \\ {\tau_{xy}} & {\sigma_y} & {\tau_{yz}} \\ {\tau_{xz}} & {\tau_{yz}} & {\sigma_z} \end{pmatrix}$

Gdzie:

σ x

σ y

σ z

- składowe normalne

τ x y

τ x z

τ x y

- składowe ścinające

[edytuj] Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator - stan hydrostatyczny (aksjacyjny) - powoduje zmianę objętości (gęstości) ciała i dla części materiałów nie prowadzi do powstania odkształceń trwałych.

Dewiator - stan czystego ścinania (dewiacyjny) - zawsze doprowadza do zmiany postaci ciała i może prowadzić do odkształceń trwałych.

$\begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sigma_0 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_0 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_{11} - \sigma_0 & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} - \sigma_0 & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} - \sigma_0\\ \end{pmatrix}$