Minimum i maksimum (funkcje)
Z Wikipedii
W matematyce funkcje minimum i maksimum wybierają z argumentów element odpowiednio najmniejszy i największy.
Spis treści |
[edytuj] Minimum i maksimum dwuargumentowe
Formalnie dla dwóch argumentów są to dwuargumentowe działania, czyli funkcje i zdefiniowane przez zależności
Dla dwóch liczb rzeczywistych można je też zdefiniować za pomocą wzorów:
[edytuj] Minimum i maksimum wieloargumentowe
Dla dowolnego zbioru P z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:
Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych nie zawsze.
Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:
czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny a nie istnieje maksimum.
Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p dążącego do minus nieskończoności.
Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p dążącego do nieskończoności.
[edytuj] Minimum i maksimum jako działania
Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.
Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).