Kres dolny i górny

Z Wikipedii

Spis treści

1 Zbiory liczbowe
2 Porządki częściowe
- 2.1 Definicja
- 2.2 Własności i przykłady
3 Zobacz też

Kres dolny (również łac. infimum) oraz kres górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

[edytuj] Zbiory liczbowe

Najczęściej oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

[edytuj] Definicje

Przypuśćmy, że zbiór $A\subseteq \mathbb R$ jest niepusty.

Powiemy, że $s$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$ , jeżeli $s \geqslant a\; (s \leqslant a)$ dla wszystkich elementów $a \in A$ .

Kresem górnym (dolnym) zbioru $A$ nazwiemy taką liczbę $s \in \mathbb R$ , która jest najmniejszym (największym) ograniczeniem górnym (dolnym) tego zbioru, tj. taką, że:

$s$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$ ;
jeśli $s' \in \mathbb R$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$ , to $s \leqslant s'\; (s \geqslant s')$ .

Kres górny zbioru $A$ oznaczamy $s = \sup(A)$ , z kolei jeżeli $s$ jest kresem dolnym $A$ , to piszemy $s = \inf(A)$ . Zapisy $\inf(A) = -\infty$ oraz $\sup(A) = \infty$ służą zaznaczeniu faktu, iż $A$ jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry.

[edytuj] Własności

Każdy niepusty podzbiór $\mathbb R$ ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tą własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa/najmniejsza, to jest ona jego kresem górnym/dolnym.
Przypuśćmy że $A\subseteq \mathbb R$ jest niepustym zbiorem oraz $s \in \mathbb R$ , wówczas

$s = \sup(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \leqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon$ ;

$s = \inf(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \geqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a < s + \varepsilon$ .
Jeżeli $A \subseteq \mathbb R$ oraz oznaczymy $-A := \{x \in \mathbb R\colon -x \in A\}$ , to:

$\inf(-A) = -\sup(A)$ ,

$\sup(-A) = -\inf(A)$ .

[edytuj] Przykłady

Jeśli A = [0,3], to:
- $\inf(A)=0$ ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem dolnym.
- $\sup(A)=3$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem górnym.
Niech B = (0,3). Wówczas:
- $\inf(B)=0$ . Choć w zbiór B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym jest 0, bowiem żadna liczba większa od 0 nie jest mniejsza od dowolnej z liczb zbioru B.
- $\sup(B)=3$ . Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, kresem górnym jest 3, ponieważ nie istnieje liczba mniejsza od 3, która byłaby większa od jakiejkolwiek liczby ze zbioru B.
Niech $C = {0,1,4}$ . Wówczas podobnie jak dla zbioru $A$ , $\inf(C)=0$ oraz $\sup(C)=4$ :
Połóżmy $D=\{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, \ldots\}$ . Jest $\sup(D)=1$ , bo każda liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest większa od wszystkich liczb ze zbioru D.

[edytuj] Porządki częściowe

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane przy użyciu tylko porządku i mogą być wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$ .

Element $s$ jest ograniczeniem górnym (odpowiednio: dolnym) zbioru $A$ , jeżeli $\forall_{a\in A}\;a\sqsubseteq s$ (odpowiednio: $\forall_{a\in A}\;s\sqsubseteq a$ ).

Element $s$ jest kresem górnym (odpowiednio: dolnym) zbioru $A$ (w $X$ ), jeśli jest najmniejszym (odpowiednio: największym) ograniczeniem tego zbioru, tzn. jeśli $s' \in X$ jest ograniczeniem górnym (odpowiednio: dolnym) zbioru $A$ , to $s\sqsubseteq s'$ (odpowiednio: $s'\sqsubseteq s$ ).

Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru $X$ , a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru $X$ .

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny, to porządek $(X,\sqsubseteq)$ nazywa się zupełnym.

[edytuj] Własności i przykłady

Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}$ , to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny i kres górny w liczbach rzeczywistych.)
Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też kres dolny i kres górny można oznaczać symbolami odpowiednio $\inf(A)$ i $\sup(A)$ .
Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy $(Y,\leq)$ taki że $X\subseteq Y$ i obcięcie $\leq \upharpoonright X$ zgadza się z $\sqsubseteq$ , oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y$ . Porządek $(Y,\leq)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór $X$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór $X$ ma kres dolny.
Niech będzie algebrą Boole'a i niech będzie porządkiem boole'owskim na (tzn. dla wtedy i tylko wtedy gdy ).
- Kres górny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\sum A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$ . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski $\leq$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
- Kres dolny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\prod A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$ . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a ${\mathbb B}$ :
  
  każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres górny (tzn sumę),
  
  każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres dolny (tzn produkt).
- Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli $\emptyset\neq A\subseteq {\mathbb B}$ , to