Moment Zernike'a

Z Wikipedii

Momenty Zernike'a to współczynniki rozwinięcia funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych (najczęściej reprezentującej obraz) względem wielomianów Zernike'a. Nazwa moment jest tu użyta w analogii do definicji klasycznych momentów.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Moment zespolony
- 1.2 Moment rzeczywisty
2 Własności
3 Zastosowanie
4 Literatura

[edytuj] Definicja

[edytuj] Moment zespolony

Moment Zernike'a rzedu n,m funkcji $f(x,y)\,$ definiuje się jako:

$A_{nm} = \frac{n+1}{\pi}\iint\limits_{x^2+y^2 \leq 1}f(x,y) \overline{V_n^m(\rho,\theta)}\ dxdy$

gdzie:

$n\,$ jest liczbą naturalną

$m\,$ jest liczbą całkowitą taką, że $0 \leq |m| \leq n$ , oraz $n-|m|\,$ jest parzyste

$\rho,\theta\,$ są współrzędnymi biegunowymi punktu $(x,y)\,$ , czyli: $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ , $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

$V_n^m(\rho,\theta)$ jest zespolonym wielomianem Zernike'a.

$\overline{\cdot}$ oznacza sprzężenie liczby zespolonej.

[edytuj] Moment rzeczywisty

Ze względu na to, iż funkcje obrazów są funkcjami rzeczywistymi, wygodnie jest korzystać z pary rzeczywistych momentów Zernike'a:

$C_{nm} = \frac{2(n+1)}{\pi}\iint\limits_{x^2+y^2 \leq 1}f(x,y) R_n^m(\rho)\ \cos(m\theta)\ dxdy$

$S_{nm} = \frac{2(n+1)}{\pi}\iint\limits_{x^2+y^2 \leq 1}f(x,y) R_n^m(\rho)\ \sin(m\theta)\ dxdy$

gdzie

$R_n^m$ jest wielomianem radialnym.

Rzeczywiste i zespolone momenty Zernika są powiązane zależnościami:

$C_{nm}=2 \Re(A_{nm})$

$S_{nm}=-2 \Im(A_{nm})$

$A_{nm}=\overline{A_{n,-m}}\,$

[edytuj] Własności

[edytuj] Rekonstrukcja obrazu

Mając dane momenty Zernike'a możemy rekonstruować obraz z dowolną dokładnością:

$\hat f(x,y) = \sum_{n=0}^{n_{\max}}\sum_m A_{nm}V_n^m(\rho,\theta)$

Przykłady rekonstrukcji

Obraz oryginalny	Obraz zrekonstruowany
Obraz oryginalny	$n_{\max}=5\,$	$n_{\max}=10\,$	$n_{\max}=15\,$	$n_{\max}=20\,$

[edytuj] Momenty obrazu obróconego

Rozważmy wersję obrazu $f(x,y)\,$ obróconą o kąt $\alpha\,$ względem jego środka. Można to opisać jako:

$f^{\alpha}(x,y) = f^{\alpha}(\rho,\theta) = f(\rho,\theta - \alpha)\,$

Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:

$A_{nm}^{\alpha} = A_{nm} \exp(-im\alpha)\,$

[edytuj] Momenty obrazu odbitego

Rozważmy wersję obrazu $f(x,y)\,$ odbitą względem prostej przechodzącej przez środek obrazu pod kątem $\beta\,$ . Można to opisać jako:

$f^{\beta}(x,y) = f^{\beta}(\rho,\theta) = f(\rho,2\beta - \theta)\,$

Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:

$A_{nm}^{\beta} = \overline{A_{nm}} \exp(-i2m\beta)\,$

[edytuj] Zastosowanie

Ze względu na wymienione właściwości, momenty Zernike'a mogą służyć do wyznaczania cech obrazu, które są niezależne od jego obrotu i odbicia. Cechy takie mogą służyć w zadaniu rozpoznawania wzorców.

[edytuj] Literatura

A. Khotanzad, Y.H. Hong: Rotation invariant image recognition using features selected via a systematic. Pattern Recognition method vol.23. 1990.
Thomas H. Reiss: Recognizing Planar Objects Using Invariant Image Features. Lecture Notes in Computer Science, volume 676. Springer-Verlag, 1993.

Kategoria: Cyfrowe przetwarzanie obrazów

We provide Linux to the World