Monadyczna algebra Boole'a
Z Wikipedii
Monadyczna algebra Boole'a – algebra Boole'a z dodatkowym działaniem jednoargumentowym , które spełnia pewne warunki naśladujące własności kwantyfikatora egzystencjalnego.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Monadyczna algebra Boole'a to struktura algebraiczna taka, że:
- jest algebrą Boole'a,
- funkcja spełnia następujące warunki dla wszystkich :
Pojęcie monadycznych algebr Boole'a pierwszy wprowadził Paul Halmos. Według niego motywacją do badań tych algebr było pragnienie lepszego rozumienia pewnych aspektów logiki matematycznej.
[edytuj] Elementy domknięte
Operacja jest idempotentna: dla każdego zachodzi , ponieważ .
Elementy p spełniające (innymi słowy wartości funkcji ) nazywa się elementami domkniętymi. Zbiór elementów domkniętych jest podalgebrą Boole'a algebry .
Zbiór elementów domkniętych zawiera pełną informację o funkcji , dlatego możliwe jest jej odtworzenie na podstawie tego zbioru: niech , wtedy .
[edytuj] Przykłady
[edytuj] ∃p = 1
Niech będzie algebrą Boole'a. Funkcja zdefiniowana wzorem
- dla każdego
umożliwia określenie monadycznej algebry Boole'a .
[edytuj] ∃p = p
Niech będzie algebrą Boole'a. Funkcja zdana wzorem
- dla każdego
tworzy wraz monadyczną algebrę Boole'a .
[edytuj] Funkcyjne monadyczne algebry Boole'a
Niech C będzie zupełną algebrą Boole'a i niech I będzie dowolnym zbiorem niepustym. Rodzina CI wszystkich funkcji z działaniami określonymi punktowo jest również zupełną algebrą Boole'a.
Dla każdego istnieje . Niech oznacza funkcję stałą o wartości . Wtedy CI z powyższym działaniem jest zupełną monadyczną algebrą Boole'a.
- Uogólnienie
- Niech C będzie dowolną algebrą Boole'a, a I dowolnym zbiorem niepustym. Niech B będzie podzbiorem zbioru CI wszystkich funkcji p takim, że spełnione są następujące warunki:
- B (z działaniami określonymi punktowo) jest algebrą Boole'a (w szczególności funkcje stałe 0 i 1 należą do B);
- dla każdej funkcji istnieje kres górny zbioru ;
- jeśli i , to również funkcja stała o wartości należy do zbioru C. Funkcję tę oznacza się .
- Wówczas jest monadyczną algebrą Boole'a. Takie monadyczne algebry Boole'a nazywa się funkcyjnymi monadycznymi algebrami Boole'a (określonymi na I o wartościach w zbiorze C).
[edytuj] Twierdzenie Halmosa o reprezentacji monadycznych algebr Boole'a
Paul Halmos udowodnił, że każda monadyczna algebra Boole'a jest izomorficzna z funkcyjną monadyczną algebrą Boole'a.
[edytuj] Źródła
- Paul Halmos, Algebraic Logic. Chelsea Publishing Co., New York 1962.