Nierówność między średnimi potęgowymi

Z Wikipedii

Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność o średniej uogólnionej) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy'ego, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.

[edytuj] Definicja i twierdzenie

Definicja

Niech $a_1, a_2, ..., a_n\geq 0$ oraz $p\in {\mathbb R}\setminus\{0\}$ .

Średnia potęgowa rzędu p liczb $a 1, a 2,..., a n$ to

$\mu_p(a_1, a_2,\ldots ,a_n)=\Big(\frac{a^p_1+a^p_2+\ldots+a^p_n}{n}\Big)^{1/p}$

Dla $p=-\infty$ , $p = 0$ oraz $p=+\infty$ średnią potęgową rzędu p liczb $a 1, a 2,..., a n$ określamy jako

$\mu_{-\infty}(a_1, a_2,\ldots ,a_n) = \min(a_1, a_2, \dots, a_n),$
$\mu_0(a_1, a_2,\ldots ,a_n) = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n},$
$\mu_{+\infty}(a_1, a_2,\ldots ,a_n) = \max(a_1, a_2, \dots, a_n).$

Twierdzenie

Niech $-\infty\le p<q\le+\infty$ i niech dane będzie $n$ liczb $a_1, a_2, ..., a_n\geq 0$ . Wówczas średnia potęgowa rzędu $p$ liczb $a 1, a 2,..., a n$ jest nie większa od ich średniej uogólnionej rzędu $q$ , czyli

$\mu_p(a_{1},...,a_{n}) \le \mu_q(a_{1},...,a_{n})$ .

Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $a 1, a 2,..., a n$ są wszystkie równe.

Wniosek

Dla dowolnych liczb dodatnich $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ funkcja

$\mathbb{R}\ni t\to \mu_t(a_1, a_2,\ldots ,a_n)\in\mathbb{R}$

jest funkcją niemalejącą.

Prawdziwy jest również wariant ważony nierówności (przy tych samych wagach).

[edytuj] Przykład

Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że

jeśli

a, b, c > 0

oraz

a 3 + b 3 + c 3 = 81

, to $a+b+c\leq 9$ .

W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy

$\frac{a+b+c}{3}\leq \left(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{27}=3$ ,

co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.

[edytuj] Dowód

[edytuj] Równoważność nierówności między średnimi o przeciwnych znakach

Załóżmy, że spełniona jest nierówność między średnimi rzędów p i q:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

wtedy:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}$

Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):

$\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}$

Uzyskujemy zatem nierówność między średnimi rzędów -p i -q, przy czym możemy zastosować również rozumowanie w drugą stronę, więc nierówności te są równoważne, co przyda się dalej do uproszczenia niektórych dowodów.

[edytuj] Średnia geometryczna

Dla dowolnego q nierówność między średnią rzędu q i średnią geometryczną mozemy przekształcić w następujący sposób:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

$\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i}$

(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla q>0, druga w przeciwnym wypadku)

podnosimy obustronnie do potęgi q:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q$

i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu $x_i^q,$ którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:

$\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log(\sum_{i=1}^nw_ix_i)$

$log(\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}) \leq log(\sum_{i=1}^nw_ix_i)$

Po nałożeniu obustronnie rosnącej funkcji exp uzyskujemy żądaną nierówność:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i$

Stąd dla dowolnego dodatniego q zachodzi:

$\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

a ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnie małych q i, zgodnie z dowodem poniżej, wyrażenia po lewej i prawej coraz lepiej przybliżają średnią geometryczną, gdy q zbliża się do 0:

$\lim_{q\rightarrow 0}\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{q}}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}$

tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową, a średnią geometryczną oraz fakt, że średnia potęgowa rzędu dążącego do zera to średnia geometryczna.

[edytuj] Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi

Chcemy udowodnić, że dla dowolnych p<q zachodzi:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

w przypadku kiedy p jest ujemne, a q dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wczesniej:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich p i q: Weźmy funkcję $f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+},$ $f(x)=x^{\frac{q}{p}}$ . Oczywiście f jest rosnąca, bo q/p jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną: $f''(x)=(\frac{q}{p})(\frac{q}{p}-1)x^{\frac{q}{p}-2},$ która jest zawsze dodatnia, bo q > p, z czego wynika wypukłość f.

Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:

$f(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p)\leq\sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)$

$\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q$

po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka q-tego stopnia (funkcja rosnąca, bo q > 0) uzyskujemy żądaną nierówność:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

Korzystając z wykazanej wcześniej równoważności możemy dowieść nierówność dla ujemnych p i q, podstawiając odpowiednio -q i -p, co kończy dowód.

[edytuj] Minimum i maksimum

Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów $+/-\infty$ . Stąd dla każdego q:

$\min (x_1,x_2,\ldots ,x_n)\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \max (x_1,x_2,\ldots ,x_n)$

Dla maksimum dowód przebiega następująco: Załóżmy bez straty ogólności, że ciąg x_i jest nierosnący, oraz że żadna z wag nie jest zerem. Wtedy nierówność jest równoważna nierówności:

$\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq x_1$