Niezmiennik j
Z Wikipedii
Niezmiennik j, inaczej j-niezmiennik - pojęcie matematyczne wprowadzone przez Klein'a, definiowalne na dwa sposoby - czysto algebraiczny, związany z krzywymi eliptycznymi oraz analityczny, jako specyficzna funkcja modularna.
[edytuj] Definicja analityczna
Niezmiennik j, zapisywany j(τ) definiuje się dla wartości zespolonych τ z górnej półpłaszczyzny zespolonej, tzn. takich, dla których 
. Używając jako punktu wyjścia funkcji theta Jacobiego, j można zdefiniować w następujący sposób:
![j(\tau) = 32 {[\vartheta(0;\tau)^8+\vartheta_{01}(0;\tau)^8+\vartheta_{10}(0;\tau)^8]^3 \over [\vartheta(0;\tau) \vartheta_{01}(0;\tau) \vartheta_{10}(0;\tau)]^8}](../../../../math/d/5/9/d597141ba17e88df02a751aab1d41018.png)
gdzie 
, 
i 
to, odpowiednio, funkcja theta Jacobiego oraz dwie funkcje pomocnicze theta. Inna możliwa definicja niezmiennika j to:
gdzie g2 to drugi niezmiennik modularny zdefiniowany w terminach szeregu Eisensteina (dokładnie, jako 60G2, gdzie G2 to drugi wyraz tego szeregu), zaś Δ to wyróżnik modularny.
[edytuj] Definicja algebraiczna
Niech
-
- E:y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6
będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem. Zdefiniujmy:
oraz
(wyróżnik krzywej). j-niezmiennik takiej krzywej definiujemy jako:
W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tą możemy uprościć do postaci:
[edytuj] Własności
j, rozumiany jako funkcja zespolona, jest tzw. absolutnym niezmiennikiem modularnym, co oznacza, że spełnia zależności:
