Odwzorowanie stereograficzne

Z Wikipedii

Odwzorowanie stereograficzne, inaczej rzut stereograficzny – przekształcenie geometryczne, rzut środkowy sfery na płaszczyznę, w którym środkiem rzutu jest punkt sfery, zaś rzutnia jest styczna do sfery w antypodzie środka rzutu.

[edytuj] Podstawowe własności

Odwzorowanie stereograficzne jest wzajemnie jednoznaczne ze sfery z wyłączonym jednym punktem (środkeim rzutu) na płaszczyznę.

Odwzorowanie to jest wiernokątne: dwie linie na sferze i ich obrazy na płaszczyźnie przecinają się pod takim samym kątem.

Każdy okrąg na sferze, przechodzący przez środek rzutu, odwzorowuje się na prostą na płaszczyźnie, zaś każdy inny okrąg na sferze odwzorowuje się na okrąg na płaszczyźnie.
W przekształceniu odwrotnym każda prosta na płaszczyźnie–rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze przechodzący przez środek rzutu, każdy okrąg na rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze.

[edytuj] W kartografii

Odwzorowanie stereograficzne znane było w starożytnej Grecji – jego matematyczny opis dał Hipparchos z Nikei (II wiek p.n.e.).

W kartografii jest stosowane głównie (choć nie tylko) do przedstawiania obszarów podbiegunowych. Od innych rodzajów odwzorowania azymutalnego różni się tym, że jest wiernokątne, nie zachowuje jednak odległości ani pól.

[edytuj] W krystalografii

Odwzorowanie stereograficzne to zostało wprowadzone do krystalografii w 1839 przez W.H. Millera.

Stosuje się ją w celu wiernej prezentacji kątów pomiędzy normalnymi ścian. Czyli umożliwia ona nam przedstawienie trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie z wiernym zachowaniem kątów.

Każda ściana, każda prosta i punkt reprezentowane są przez rzut punktu przecięcia sfery przez normalną na płaszczyznę równikową.