Prosta

Z Wikipedii

Prosta lub linia prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii. W matematyce jest to szczególny przypadek krzywej (choć wydawać by się mogło, że to stwierdzenie sprzeczne). Potocznie:

niezakrzywiona, nieograniczona^[1] z obydwu stron linia o zerowej grubości.

Ten opis oddaje proste w geometrii euklidesowej będącej przybliżeniem geometrii znanej z codziennego życia (więcej geometria euklidesowa).

W matematyce rozważane są także inne geometrie, w których powyższa definicja musi być nieco inaczej rozumiana. Na przykład geometria powierzchni kuli (tzw. geometria sferyczna) była już w I w. n.e. rozwijana na potrzeby podróżników i astronomów^[2]. Pojęcie prostej można uogólnić także na geometrie nieeuklidesowe^[3]. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw. linie geodezyjne^[4] czyli linie określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami. Według tej ogólnej definicji:

prosta to taka, nieposiadająca końców^[5] krzywa, która dla każdych dwóch dostatecznie bliskich^[6] swoich punktów zawiera w całości najkrótszą drogę pomiędzy nimi.

Obecnie formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej w każdym punkcie krzywiźnie geodezyjnej (czyli zerowej pochodnej kowariantnej dla kierunku krzywej w danym punkcie), więc w pewnym sensie nadal są one liniami niezakrzywionymi.

W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, nie definiowanym formalnie w obrębie geometrii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Ten temat szerzej omówiony jest tutaj.

Traktując prostą jako zbiór punktów przestrzeni afinicznej, można wykazać, że jest ona równoliczna z każdym odcinkiem niezdegenerowanym do punktu.

[edytuj] Geometria euklidesowa

Prosta, półprosta i odcinek. Oczywiście dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

[edytuj] Intuicyjny opis dla geometrii euklidesowej

Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „nie zakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową grubość.

Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.

[edytuj] Definicja Euklidesa

Zobacz więcej w osobnym artykule: Elementy.

Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który w III w. p.n.e. w swoim dziele Elementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.

Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej, kąta. Prostą definiował tak:

linia jest długością bez szerokości^[7]
linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku^[8]

Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.

„Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”^[9].

Euklides sformułował też aksjomaty geometrii, tzw. pewniki^[10]. Ze względu na odkryte luki w aksjomatyce Euklidesa, wprowadzono aksjomatykę Hilberta, która dziś jest najczęściej stosowanym sposobem aksjomatyzacji przestrzeni euklidesowej. Więcej na ten temat pewników Euklidesa i konsekwencjach ich modyfikacji w sekcji geometrie nieeuklidesowe niniejszego artykułu.

Podejście Euklidesa zaowocowało ciekawym przejawem kultury starożytnych Greków – twierdzenia geometryczne chętnie dowodzili używając cyrkla i liniału, czyli kreśląc okręgi i proste. Są to tzw. klasyczne konstrukcje geometryczne. W 1833 r. udowodniono, że wszystkie takie konstrukcje można wykonać także przy pomocy samych prostych, o ile tylko dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. (twierdzenie Ponceleta-Steinera)^[11]

[edytuj] Pojęcie pierwotne a zbiór punktów

W oryginalnym ujęciu geometrii euklidesowej prosta jest pojęciem pierwotnym. Pojęcie pierwotne ze swej natury nie jest formalnie definiowane w języku danej teorii. Z drugiej strony podaje się też formalną definicję prostej jako zbioru punktów spełniających pewne równanie. Ta sprzeczność jest jednak pozorna.

Pojęcia pierwotne nie są definiowane w języku danej teorii, są po prostu symbolami których własności opisują aksjomaty, założenia budujące podwaliny tej teorii matematycznej. Można jednak stworzyć tzw. model^[12] tej teorii, to znaczy zdefiniować takie obiekty matematyczne, które podstawione jako pojęcia pierwotne^[13] spełniają wszystkie jej aksjomaty (w tym wypadku pewniki Euklidesa^[14] lub aksjomaty Hilberta). Aby obiekty te dało się zdefiniować, model musi opierać się na pojęciach spoza modelowanej teorii. Takim powszechnie dziś przyjmowanym modelem geometrii euklidesowej jest tzw. przestrzeń kartezjańska opierająca się na aparacie analizy matematycznej.

Pojęcie	Aksjomatyka przestrzeni euklidesowej	Interpretacja w przestrzeni kartezjańskiej
punkt	pojęcie pierwotne	para uporządkowana (dla większej liczby wymiarów krotka) liczb rzeczywistych
prosta	pojęcie pierwotne	prostą przechodzącą przez punkty $(x A, y a)$ i $(x B, y B)$ definiuje się jako zbiór par $(x, y)$ spełniających równanie $(y A - y B)(x - x B) - (x A - x B)(y - y B) = 0$
relacja „punkt leży na prostej”	pojęcie pierwotne	relacja przynależności do zbioru
aksjomaty Euklidesa lub Hilberta	spełnione z definicji	spełnione (co można udowodnić)
dowodzenie twierdzeń	w oparciu o aksjomaty	w oparciu o metody geometrii analitycznej

Przestrzeń kartezjańska jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż pozwala na sprowadzenie wszelkich twierdzeń geometrycznych do postaci liczbowej, co zwykle upraszcza dowodzenie. Okazało się zresztą, że aksjomaty Euklidesa nie są wystarczające^[15] i pewnych twierdzeń nie da się w oparciu o nie rozstrzygnąć^[16]. Można to jednak zrobić w przestrzeni kartezjańskiej. Dział geometrii badający obiekty geometryczne przy pomocy metod analizy matematycznej nosi nazwę geometrii analitycznej.

Współcześnie mówiąc „przestrzeń euklidesowa” ma się zwykle na myśli jej model w postaci przestrzeni kartezjańskiej.

Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn leżących w tej samej przestrzeni trójwymiarowej.

[edytuj] Własności

Przez dwa nie identyczne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta.
Prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie.
Prosta na płaszczyźnie jest zbiorem punktów jednakowo oddalonych od dwóch ustalonych punktów.
Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych. Ich zbiór zwany jest pękiem prostych.
Każda prosta dzieli płaszczyznę w której się zawiera na dwa obszary (półpłaszczyzny) i jest brzegiem każdego z nich.
Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane półprostymi.
Najkrótsza^[17] droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej.
Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn (zob. rysunek).
Promień krzywizny (dla większej liczby wymiarów – wszystkie promienie krzywizny) w każdym jej punkcie jest nieskończony.
Proste są jedynymi krzywymi gładkimi o zerowej krzywiźnie w każdym punkcie.
Każda prosta ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Osią taką jest ona sama, oraz każda prosta prostopadła do niej.

[edytuj] Niektóre ważne proste

asymptota – prosta do której dąży dana krzywa (w szczególności wykres funkcji)
oś liczbowa – prosta z liczbą przyporządkowaną każdemu swojemu punktowi, używana np. jako oś współrzędnych
oś obrotu – prosta wokół której obraca się dane ciało, albo względem której dokonujemy obrotu matematycznej bryły.
oś symetrii – prosta względem której można odbić daną figurę i otrzymać figurę identyczną

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

prosta Eulera – pewna szczególna prosta w trójkącie
prosta potęgowa – zbiór punktów, które mają równe potęgi względem dwóch różnych okręgów
prosta Simsona – inna ciekawa prosta w trójkącie
sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach
styczna – potocznie i nieściśle: prosta "równoległa" do krzywej w danym punkcie i przechodząca przez ten punkt
normalna – prosta prostopadła do stycznej w danym punkcie krzywej
symetralna odcinka – prosta dzieląca odcinek na dwie równe części i prostopadła do niego
środkowa – prosta łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego jego boku
prosta Cevy – prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przeciwległy bok

[edytuj] Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)

Prosta jest jednowymiarową podprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej n-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).

Jeśli dany jest punkt $B$ i niezerowy wektor $α$ , to prostą generowaną przez wektor $α$ i przechodzącą przez punkt $B$ nazywamy zbiór punktów $P$ dla których istnieje liczba rzeczywista $t$ taka, że

$\overrightarrow{BP}=t\alpha$ .

Wektor $α$ nazywamy wektorem kierunkowym prostej.

Najmniejszą ^[18] podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty $P, Q$ jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy $af(P, Q)$ .

Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.

[edytuj] Równanie ogólne

W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej, każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób:

Dla pewnych liczb rzeczywistych

A, B, C

, przy czym

A

B

nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność:

A x + B y + C = 0

Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych $[ - B, A]$ jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor $[A, B]$ jest prostopadły do prostej. Jeśli $A = 0$ , to prosta jest równoległa do osi $O x$ , jeśli $B = 0$ – do osi $O y$ , jeśli $C = 0$ , przechodzi przez środek układu współrzędnych.

Współczynniki $A$ i $B$ nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla $C = 0$ całą płaszczyznę, a dla $C \neq 0$ zbiór pusty (nie ma rozwiązań).

Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

lub, jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

Parametry równania normalnego prostej. Na niebiesko zaznaczony znormalizowany wektor kierunkowy (długości 1)

[edytuj] Równanie normalne

Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki $A$ , $B$ i $C$ przez długość (normę) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwych zwrotów tego wektora, np. tak jak poniżej^[19]:

$\begin{cases} A' = A\mu \\ B' = B\mu \\ C' = C\mu \end{cases}$ ,

gdzie $μ$ to tzw. czynnik normujący:

$\mu=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}$ dla

C < 0

lub

$\mu=\frac{-1}{\sqrt{A^2+B^2}}$ dla

C > 0

Dla $C = 0$ można przyjąć dowolny znak.

Otrzymujemy w ten sposób tzw. równanie normalne, czyli równanie prostej położonej pod kątem $α$ do osi $O y$ i odległej o $p$ od środka układu współrzędnych:

x cosα + y sinα - p = 0

przy czym $0\le \alpha < 2\pi$

Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem $A$ i $B$ ( $C$ jest wtedy zerem). Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.

Trzy równania w postaci kierunkowej i odpowiadające im proste. Proste czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy, a proste czerwona i zielona ten sam wyraz wolny

[edytuj] Równanie w postaci kierunkowej

Jeśli prosta nie jest równoległa do osi rzędnych (Oy), równanie prostej można zapisać w tzw. postaci kierunkowej:

y = a x + b

gdzie $a$ i $b$ to liczby rzeczywiste.

$a$ , tzw. współczynnik kierunkowy, jest równe tangensowi kąta między prostą a osią odciętych (OX). Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą m. Dwie proste o tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe. Czerwona i niebieska prosta na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy.
$b$ , tzw. wyraz wolny, jest rzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych. Proste czerwona i zielona na wykresie mają ten sam wyraz wolny.

[edytuj] Równanie parametryczne

Prosta $l$ o (niezerowym) wektorze kierunkowym $α = [u 1, u 2]$ , przechodząca przez punkt $A = (x A, y A)$ to zbiór punktów $P = (x, y)$ , takich że

P = A + t α

dla dowolnych $t\in \mathbb{R}$ .

Innymi słowy:

$l=\{A+t\alpha\colon t\in \mathbb{R}\}$

W nowoczesnej geometrii analitycznej oznacza się to:

l = A + lin(α)

Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

$\left\{\begin{matrix} x = x_A + tu_1 \\ y=y_A + tu_2 \end{matrix}\right.$

Przy tym $x A$ i $y A$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast $u 1$ i $u 2$ są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt $A$ , a nie całą prostą.

[edytuj] Równanie kanoniczne

Pod założeniami z poprzedniego ustępu, prostą $l$ można opisać równaniem:

$l\colon \frac{x-x_A}{a_1}=\frac{y-y_A}{a_2}$

W przypadku, gdy $u 1$ lub $u 2$ jest zerem, przydatne może być zapisanie równania w postaci:

(x - x A) u 2 = (y - y A) u 1

[edytuj] Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa różne punkty $(x A, y A)$ i $(x B, y B)$ , to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci:

(y B - y A)(x - x A) - (x B - x A)(y - y A) = 0

lub w wersji parametrycznej:

$\left\{\begin{matrix} x = x_A + t(x_B-x_A) \\ y=y_A + t(y_B-y_A) \end{matrix}\right.$

gdzie t przebiega wszystkie liczby rzeczywiste.

To samo równanie można przedstawić w postaci wyznacznika:

Parametry równania odcinkowego prostej

$\begin{vmatrix} x & y & 1\\ x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1 \end{vmatrix}=0$

[edytuj] Równanie odcinkowe

Równanie prostej, przecinającej oś $O x$ w punkcie $(a,0)$ , gdzie $a\neq 0$ i oś $O y$ w punkcie $(0, b)$ , gdzie $b\neq 0$ :

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

[edytuj] Postać biegunowa równania

Prostą można też wyrazić w biegunowym układzie współrzędnych $(\varphi, r)$ . Równanie prostej nie przechodzącej przez biegun przyjmuje wówczas postać

$r=\frac{p}{\cos(\varphi-\alpha)}$ ,

gdzie:

$p$ jest odległością prostej od bieguna,
$α$ to kąt między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna prostopadle do danej prostej,
$r$ jest współrzędną punktu prostej – odległością od bieguna,
$\varphi$ jest współrzędną punktu prostej – kątem między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna do danego punktu.

Jeśli prosta przechodzi przez biegun, to jej równanie ma postać $φ = α + k π$ , gdzie:

$α$ to kąt między osią biegunową a prostą,
$k$ jest dowolną liczbą całkowitą,
$r$ – odległość od bieguna – może być wówczas dowolna.

[edytuj] Odległość punktu od prostej

Odległość punktu $P = (x P, y P)$ od prostej danej równaniem ogólnym:

$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Odległość punktu $P$ od prostej danej równaniem normalnym:

d = | x P cosα + y P sinα - p |

Wyrażenie $x P cosα + y P sinα - p$ ma wartość dodatnią, gdy punkt $P$ oraz początek układu współrzędnych leżą po przeciwnych stronach danej prostej, ujemną – jeśli leżą po tej samej stronie i zero, jeśli $P$ leży na prostej.

[edytuj] Wzajemne położenie na płaszczyźnie

Dla prostych $k, l$ danych równaniami

$k\colon A_1 x+B_1 y+ C_1=0,\; l\colon A_2 x+B_2 y+ C_2=0$

niech:

$W_{AB}=\begin{vmatrix} A_1 & B_1\\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}=A_1 B_2-A_2 B_1$

$W_{BC}=\begin{vmatrix} B_1 & C_1\\ B_2 & C_2 \end{vmatrix}=B_1 C_2-B_2 C_1$

$W_{CA}=\begin{vmatrix} C_1 & A_1\\ C_2 & A_2 \end{vmatrix}=C_1 A_2-C_2 A_1$ .

Jeśli $W_{AB}\ne 0$ , wówczas proste $k, l$ przecinają się w punkcie

$\left( \frac {W_{BC}} {W_{AB}}, \frac {W_{CA}} {W_{AB}} \right)$

Jeśli $W A B = 0$ , ale $W_{BC}\ne 0$ to zachodzi także $W_{CA}\ne 0$ i proste $k, l$ są równoległe

Jeśli $W A B = W B C = 0$ , to również $W C A = 0$ i proste pokrywają się ( $k = l)$ (równania opisują ten sam zbiór punktów).

Współczynniki prostych spełniają wówczas zależność:

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

lub, jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

[edytuj] Kąt między dwiema prostymi

Kąt pomiędzy dwiema prostymi jest wyznaczony przez półproste, których początek znajduje się w punkcie przecięcia prostych.

Jeśli proste znajdują się w przestrzeni trójwymiarowej i nie mają punktów wspólnych, tzw. proste skośne, wówczas kąt między nimi mierzy się za pomocą prostych do nich równoległych, które mają wspólny punkt.

Jeśli w przestrzeni afinicznej $\mathbb R^n$ ze zwykłym iloczynem skalarnym proste przedstawimy w postaci parametrycznej: $l_1=P_1+\operatorname{lin}(\alpha_1)$ , $l_2=P_2+\operatorname{lin}(\alpha_2)$ , to miara kąta między tymi prostymi wyraża się wzorem

$|\angle\{l_1, l_2\}|=\arccos\frac{\alpha_1\circ\alpha_2}{\|\alpha_1\|\cdot\|\alpha_2\|}$

Symbol $\|\cdot\|$ oznacza normę (długość wektora).

Kąt między prostymi na płaszczyźnie, zadanymi równaniami odpowiednio:

$\begin{cases} A_1 x+B_1 y+C_1=0 \\ A_2 x+B_2 y+C_2=0 \end{cases}$

daje się wyznaczyć ze wzorów

$\operatorname{tg} \varphi=\frac{A_1 B_2-A_2 B_1}{A_1 A_2+B_1 B_2}$

$\cos \varphi=\frac{A_1 A_2+B_1 B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$

$\sin \varphi=\frac{A_1 B_2-A_2 B_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$

Wzory te upraszczają się, jeśli równania prostych są unormowane.

Można też użyć wzorów dla dwóch szczególnych przypadków:

jeśli $A 1 B 2 - A 2 B 1 = 0$ , to proste są równoległe,
jeśli $A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0$ to są prostopadłe.

Zobacz też uogólnienia: kąt między dwiema krzywymi, kąt między prostymi w przestrzeni.

[edytuj] Trzy punkty na prostej

Trzy punkty leżą na jednej prostej (są współliniowe) wtedy i tylko wtedy, gdy

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1\\ \end{vmatrix}=0$

lub

$\frac{x_3 - x_1}{x_2-x_1}= \frac{y_3 - y_1}{y_2 - y_1}$

[edytuj] Trzy proste przecinające się w jednym punkcie

Jeśli proste o równaniach odpowiednio:

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

przecinają się w punkcie $P$ , to prosta

A 3 x + B 3 y + C 3 = 0

także przecina się z nimi w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3\\ \end{vmatrix}=0$

[edytuj] Pęki prostych

Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany (ustalony) punkt nazywamy pękiem prostych, a dany punkt środkiem pęku. Środek pęku może być zadany wprost lub jako punkt przecięcia dwóch prostych. Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste zapisujemy w postaci:

t 1 (A 1 x + B 1 y + C 1) + t 2 (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0

, gdzie $t_1,t_2\in\mathbb{R}$ spełniają warunek $t_1^2+t_2^2>0$

Każda prosta przechodząca przez środek pęku da się przedstawić powyższym równaniem (jest współpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.

Zbiór prostych równoległych na płaszczyźnie (o wspólnym wektorze kierunkowym) nazywamy kierunkiem albo niewłaściwym pękiem prostych.

[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa

Równania określające prostą w przestrzeni trójwymiarowej łatwo otrzymać z podanych poniżej równań dla przestrzeni wielowymiarowej. Należy tylko, zgodnie z tradycją, zamiast $x 1, x 2, x 3$ napisać odpowiednio $x, y, z$ i przyjąć liczbę wymiarów $n = 3$ .

[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa

Dwie proste na płaszczyźnie mogą być albo równoległe (szczególnym przypadkiem są proste identyczne), albo przecinać się (czyli mieć jeden punkt wspólny). Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej (oraz dla większej liczby wymiarów) oprócz tego mogą być skośne, czyli nie przecinać się, ale nie być też równoległe.

Każde równanie w układzie równań liniowych z niewiadomymi będącymi liczbami rzeczywistymi zmniejsza o jeden maksymalną liczbę wymiarów zbioru rozwiązań układu. Aby więc opisać twór jednowymiarowy (prostą) w przestrzeni o n wymiarach trzeba użyć układu n-1 równań liczbowych. Czasem można ten układ łatwo zapisać jako jedno równanie wektorowe.

We wszystkich poniższych wzorach indeksy dolne oznaczają kolejne współrzędne przestrzeni wielowymiarowej, a punkty definiowanej prostej mają współrzędne postaci $(x_1,x_2, \dots, x_n)$ . n to liczba wymiarów przestrzeni.

[edytuj] Równanie parametryczne

W przestrzeni kartezjańskiej n-wymiarowej najwygodniej określać prostą za pomocą równania parametrycznego.

W tym ujęciu prosta $l$ o (niezerowym) wektorze kierunkowym $\alpha =[u_1,u_2,\ldots, u_n]$ , przechodząca przez punkt $A=(a_1, \ldots, a_n)$ to zbiór punktów $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ takich, że

P = A + t α

, dla dowolnych $t\in \mathbb R$ .

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, oznacza się to $l=A+\operatorname{lin}(\alpha)$ .

Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

$\left\{\begin{matrix} x_1 = a_1+tu_1 \\ x_2=a_2 + tu_2 \\ \vdots \\ x_n = a_n+tu_n \end{matrix}\right.$

Przy tym $a_1, a_2, \dots, a_n$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast $u_1, u_2, \dots, u_n$ są również liczbami rzeczywistymi, z których chociaż jedna musi być różna od zera. Wówczas bowiem prosta zdegenerowałaby się do punktu.

Równań w tym układzie jest n, a nie n-1, jak w pozostałych podejściach, gdyż wprowadziliśmy kolejną zmienną t, więc konieczne jest n-te równanie, aby otrzymać prostą a nie płaszczyznę.

[edytuj] Równania ogólne

Prosta w n-wymiarowej przestrzeni o współrzędnych może być opisana jako część wspólna n-1 hiperpłaszczyzn (dla przestrzeni trójwymiarowej po prostu dwóch płaszczyzn). Sprowadza się to do układu równań:

$\left\{\begin{array}{l} a_{1,1} x_1+a_{1,2} x_2+\ldots +a_{1,n} x_n=D_1 \\ a_{2,1} x_1+a_{2,2} x_2+\ldots +a_{2,n} x_n=D_2 \\ \vdots \\ a_{n-1,1} x_1+a_{n-1,2} x_2+\ldots +a_{n-1,n} x_n=D_{n-1} \end{array}\right.$ ,

co w postaci macierzowej można zapisać jako

$\left[\begin{array}{c c c c} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}D_1\\D_2\\ \vdots \\ D_{n-1}\end{array}\right]$

Układ ten opisuje prostą wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy:

$\mbox{r}\left[\begin{array}{c c c c} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\end{array}\right]=n-1$

[edytuj] Równania kanoniczne

Prostą przechodzącą przez punkt $P=(p_1,p_2,\dots,p_n)$ i równoległą do wektora kierunkowego $\vec u=[u_1,u_2,\dots,u_n]$ określają równania:

$\frac{x_1-p_1}{u_1}=\frac{x_2-p_2}{u_2}=\dots=\frac{x_n-p_n}{u_n}$

albo w postaci wektorowej:

$(\vec r_x-\vec r_P) \times \vec u=\vec 0$

gdzie wektor wodzący $\vec r_x=[x_1,x_2,\dots,x_n]$ i analogicznie $\vec r_P=[p_1,p_2,\dots,p_n]$

Można też te równania interpretować jako określające prostą przechodzącą przez punkt P i prostopadłej do hiperpłaszczyzny danej równaniem $u_1 x_1+u_2 x_2+\dots+u_n x_n+D=0$

[edytuj] Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa punkty $(a_1, \dots, a_n)$ i $(b_1, \dots, b_n)$ , to równania prostej przechodzącej przez te punkty są postaci:

$\frac{x_1-a_1}{b_1-a_1}=\frac{x_2-a_2}{b_2-a_2}=\dots=\frac{x_n-a_n}{b_n-a_n}$

[edytuj] Kąt między prostymi w przestrzeni

Kąt między dwiema przecinającymi się prostymi, danymi za pomocą równań w postaci kierunkowej:

$(\vec r_x-\vec r_A) \times \vec u_A=\vec 0$

oraz

$(\vec r_x-\vec r_B) \times \vec u_B=\vec 0$

wyraża wzór:

$\cos \phi=\frac{\vec u_A \vec u_B}{u_A u_B}$ .

Jeśli proste nie przecinają się, wzór pokazuje kąt między prostymi po ich przesunięciu bez zmiany kierunków tak, aby się przecinały.

[edytuj] Kąt między prostą a płaszczyzną

Zobacz więcej w osobnym artykule: Kąt między prostą i płaszczyzną.

[edytuj] Geometrie nieeuklidesowe

Piąty postulat Euklidesa

Zobacz więcej w osobnym artykule: Geometria nieeuklidesowa.

Euklides podał pięć postulatów, tworzących fundamenty jego geometrii^[20]. Szczególnie interesujący jest piąty z nich, tzw. postulat równoległości, który w oryginalnej wersji brzmiał

Jeśli prosta przecina dwie proste w ten sposób, że kąty wewnętrzne po tej samej stronie prostej przecinającej są mniejsze od dwóch kątów prostych to proste te (przecinane) spotkają się z tej właśnie strony. (rysunek obok).

Sformułowanie to było długie i stosunkowo mało oczywiste w porównaniu z innymi pewnikami, jednak było Euklidesowi niezbędne do przeprowadzenia wielu ważnych dowodów.^[21] Współczesnym Euklidesa nie udało się wyprowadzić go z pozostałych aksjomatów i w ten sposób usunąć z grona niezbędnych postulatów geometrii. Ostatecznie późniejsi matematycy odkryli, że nie można go w ogóle usunąć, da się jednak zastąpić prostszą, równoważną wersją, np.

Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić dokładnie jedną nie przecinającą jej prostą (czyli prostą równoległą)

Zmieniając sens tego postulatu, przy zachowaniu niezmienionych pozostałych, możemy uzyskać spójne i niesprzeczne systemy, tzw. geometrie nieeuklidesowe, które dobrze opisują przestrzeń zakrzywioną, np. geometrię powierzchni kuli.

Zasadniczo zmiany te mogą iść w dwóch różnych kierunkach:

Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą – otrzymujemy wówczas tzw. geometrię hiperboliczną (Łobaczewskiego)
Przez punkt nie leżący na danej prostej nie można przeprowadzić żadnej prostej równoległej – otrzymujemy tzw. geometrię eliptyczną (sferyczną)

Można też wyobrazić sobie przestrzeń, która w niektórych obszarach ma właściwości geometrii hiperbolicznej, w innych geometrii eliptycznej a w jeszcze innych euklidesowej – takie przestrzenie opisuje uogólnienie wszystkich tych geometrii, zwane geometrią Riemanna.

Proste w geometriach nieeuklidesowych nadal mogą być zdefiniowane jako nieograniczone linie geodezyjne danej przestrzeni, tak jak zasygnalizowano na początku artykułu. Tak zdefiniowane proste spełniają wszystkie aksjomaty Euklidesa, za wyjątkiem postulatu równoległości. Ta definicja pasuje także do geometrii euklidesowej, gdzie wyznacza zwykłe proste.

W geometrii hiperbolicznej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające jej

[edytuj] Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego)

Zobacz więcej w osobnym artykule: geometria hiperboliczna.

W geometrii hiperbolicznej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające jej (zob. rysunek). W tej geometrii dla każdego kąta występuje też tzw. prosta zagradzająca – prosta, która jest jednocześnie równoległa do obydwu jego ramion.

Istnieje kilka różnych modeli geometrii hiperbolicznej. Proste są w nich różnie interpretowane, jednak idzie za tym zmiana definicji pojęcia odległości:

W modelu Kleina przestrzeń to wnętrze koła, a prosta to cięciwa tego koła
W modelu dysku Poincaré przestrzeń to także wnętrze koła, ale proste to części okręgów prostopadłe do obwodu tego koła w punktach styku, oraz średnice koła.
W modelu półpłaszczyzny Poincaré przestrzeń to półpłaszczyzna z wyłączonym brzegiem, a proste to półokręgi o środkach na brzegu półpłaszczyzny oraz półproste prostopadłe do tego brzegu i zaczynające się na nim
W modelu Minkowskiego proste to linie geodezyjne na hiperboloidzie jednopowłokowej (patrz rysunek)

Model prostych geometrii sferycznej (czyli okręgi wielkie zaznaczone ciągłymi liniami)

[edytuj] Geometria eliptyczna (sferyczna)

Zobacz więcej w osobnym artykule: geometria eliptyczna.

W geometrii sferycznej, której model stanowi powierzchnia kuli (także kuli ziemskiej) nie istnieją dwie proste nie przecinające się. Punktami w tej geometrii są zbiory dwóch punktów euklidesowych leżących po przeciwnej stronie sfery, a prostymi tzw. okręgi wielkie^[22] sfery, czyli okręgi na jej powierzchni, których środek pokrywa się ze środkiem sfery.

Przykładowe okręgi wielkie na rysunku obok są oznaczone ciągłymi liniami. Inne okręgi (oznaczone przerywanymi liniami) nie są prostymi tej geometrii, gdyż nie wyznaczają najkrótszych dróg. Pomiędzy dwoma dowolnymi punktami sfery można bowiem przejść po łukach nieskończonej liczby różnych okręgów, ale tylko jeden z tych okręgów będzie okręgiem wielkim, i ta właśnie trasa będzie najkrótsza - jest to tak zwana ortodroma. Z definicji zatem łuki okręgów wielkich to odcinki w geometrii sferycznej, łuki pozostałych okręgów odcinkami nie są.

Wprowadzając dla dwuwymiarowej geometrii eliptycznej układ współrzędnych z długością geograficzną φ i szerokością geograficzną θ możemy zdefiniować jej prostą (okrąg wielki) równaniem:

A cosθcosφ + B cosθsinφ + C sinθ = 0

gdzie A, B i C są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które nie są jednocześnie wszystkie trzy równe zeru.

Sfera jest przykładem przestrzeni ograniczonej, w której proste również są ograniczone. Jednak nawet tutaj okręgi wielkie pozostają liniami geodezyjnymi i nie posiadają zakończeń.

[edytuj] Czasoprzestrzeń

W szczególnej oraz ogólnej teorii względności przestrzeń fizyczna i czas są związane tworząc w sensie matematycznym czterowymiarową czasoprzestrzeń. W szczególnej teorii względności czasoprzestrzeń ta jest przestrzenią Minkowskiego, a w ogólnej teorii względności przestrzenią pseudoriemannowską będącą modyfikacją geometrii Riemanna. W obydwu teoriach linia świata ciała na które nie działa żadna siła jest linią prostą (geodezyjną). W ogólnej teorii względności grawitacji nie uznaje się za oddziaływanie, lecz czynnik, który zakrzywia czasoprzestrzeń^[23]. Ciało oddziaływujące grawitacyjnie nadal przemieszcza się po prostej (analogicznie do pierwszej zasady dynamiki Newtona), jednak nie jest to prosta przestrzeni fizycznej, lecz prosta w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Stąd z punktu widzenia geometrii euklidesowej porusza się ono (w przestrzeni fizycznej) po zakrzywionym torze. Grawitacja nie jest interpretowana jako siła działająca na ciało, a jako zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której to ciało się porusza^[24].

Wzajemne położenie punktów w czasoprzestrzeni jest dzielone na trzy typy w zależności od wartości interwału czasoprzestrzennego (odpowiednik odległości). Ponieważ wszystkie punkty prostej w czasoprzestrzeni mają ten sam typ, proste także możemy podzielić na:

czasowe (interwał czasoprzestrzenny $s_{12}^2>0$ ; proste reprezentują prędkości mniejsze od prędkości światła w próżni) – mogą być trajektoriami cząstek posiadających niezerową masę spoczynkową
zerowe ( $s_{12}^2=0$ ; proste reprezentują prędkość światła) – mogą być trajektoriami jedynie cząstek bezmasowych (np. fotonów),
przestrzenne ( $s_{12}^2<0$ ; proste reprezentują prędkości większe od c) – nie mogą być trajektoriami żadnych cząstek (oprócz hipotetycznych tachionów, których istnienie nie zostało w żaden sposób potwierdzone).

W tym artykule występują konwencje związane z teoriami relatywistycznymi.

Krzywa $x α (s)$ , która ma w punkcie $s$ kierunek $d x α / d s = U α (s)$ jest linią geodezyjną (prostą w czasoprzestrzeni) jeśli

$\nabla_{U} U^\beta = 0$

lub

$U^\alpha \nabla_\alpha U^\beta = 0$ ,

co oznacza, że jej pochodna kowariantna dla jej kierunku w danym punkcie jest równa zeru.

[edytuj] Inne przestrzenie i geometrie

[edytuj] Przestrzeń liniowa (wektorowa)

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń liniowa.

W tym ujęciu prosta jest jednowymiarową przestrzenią liniową. Dokładniej, prosta jest tożsama z jednowymiarową podprzestrzenią właściwą przestrzeni liniowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych.

Jeśli $\vec U$ jest wektorem niezerowym, to prosta jest zbiorem wektorów $\vec W$ , dla których istnieje skalar $k$ (rzeczywisty dla przestrzeni wektorowej należącej do $\mathbb R$ ) taki, że $\vec W = k\vec U$ . Mówimy, że wektory $\vec U$ i $\vec W$ są liniowo zależne lub współliniowe.

[edytuj] Przestrzeń metryczna

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń metryczna.

W przestrzeni metrycznej naturalnym uogólnieniem prostych są linie geodezyjne, jak podano na wstępie.

[edytuj] Geometria rzutowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: geometria rzutowa.

Geometria rzutowa bada własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się pod wpływem tzw. przekształceń rzutowych, czyli dla płaszczyzny przekształceń, które przekształcają proste zawsze w proste (a nie w inne obiekty).

W geometrii rzutowej mamy dwa rodzaje prostych:

proste właściwe: każda prosta właściwa jest zbiorem punktów zwykłej prostej z przestrzeni kartezjańskiej, uzupełnionym o jej kierunek zwany tu punktem w nieskończoności.
prosta rzutowa: będąca zbiorem punktów w nieskończoności.

Takie ujęcie pozwala uzyskać szereg interesujących własności, np. dowolne dwie nie identyczne proste przecinają się zawsze w jednym punkcie.

Najelegantszym wynikiem geometrii rzutowej jest zasada dualności mówiąca, iż dowolne prawdziwe twierdzenie pozostaje w obrębie tej geometrii prawdziwe, jeśli zamienimy w nim pojęcia „prosta” i „punkt” (i odpowiednio „przechodzi przez” z „leży na”).

[edytuj] Geometria wykreślna

Zobacz więcej w osobnym artykule: geometria wykreślna.

Geometria wykreślna jest szeroko używaną w technice i architekturze nauką stosowaną, zajmującą się sposobami jednoznacznego przedstawiania trójwymiarowych obiektów w formie rzutów prostokątnych na prostopadłe płaszczyzny (tzw. rzutnie).

Proste odwzorowywane są następująco: przez daną prostą prowadzimy płaszczyzny $\varepsilon_1$ i $\varepsilon_2$ prostopadłe odpowiednio do rzutni $π 1$ i $π 1$ , tzw. płaszczyzny rzutujące. Ich krawędzie przecięcia z rzutniami to właśnie rzuty poziomy i pionowy prostej.

Takie dwa rzuty prostej jednoznacznie ją identyfikują, z wyjątkiem przypadku prostej prostopadłej do osi $x$ i nierównoległej do żadnej z pozostałych osi. Jej rzuty są identyczne z rzutami dowolnej innej prostej na płaszczyźnie prostopadłej do osi $x$ . Aby jednoznacznie ją odwzorować, konieczne jest przedstawienie dodatkowo rzutów dwóch dowolnych jej punktów.

Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z rzutni, jej rzut na tę rzutnię staje się punktem i zbędne staje się prowadzenie płaszczyzny prostopadłej do tej rzutni.

Niektóre proste mają szczególne nazwy ze względu na położenie względem rzutni:

prosta pozioma – równoległa do rzutni poziomej $π 1$ . Jej punkty mają jednakową wysokość.
prosta czołowa – równoległa do rzutni pionowej $π 2$ Jej punkty mają jednakową głębokość.
prosta pionowa – prostopadła do rzutni $π 1$ . Rzutem poziomym jest punkt.
prosta celowa – prostopadła do rzutni $π 2$ . Rzutem pionowym jest punkt.

[edytuj] Zobacz też

Perspektywa dwupunktowa

Przypisy

↑ Zobacz aksjomat Archimedesa
↑ Trygonometrią sferyczną zajmował się w I w. n.e. Menelaos z Aleksandrii, a po nim Ptolemeusz Klaudiusz. Źródło: [1]
↑ Aby było to możliwe, przestrzeń musi być tzw. G-przestrzenią Herberta Busemanna, będącą szczególnym przypadkiem przestrzeni metrycznej.
↑ en:Geodesic
↑ "Nieposiadająca końców" to co innego niż "nieograniczona". Zobacz sekcję geometria sferyczna
↑ Dostatecznie bliskich, czyli oddalonych od siebie o mniej niż pewna ustalona dla danej geodezyjnej dodatnia liczba rzeczywista. Linia geodezyjna w ogólnym przypadku nie musi być najkrótszą drogą pomiędzy dowolnymi swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie jest najkrótszą drogą pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca. Proste w przestrzeni euklidesowej i na sferze zawierają jednak najkrótsze drogi pomiędzy dowolnie oddalonymi swoimi punktami.
↑ Księga I, Definicja 2
↑ Księga I, Definicja 4
↑ Księga I, Definicja 23
↑ Księga I - Postulaty
↑ Można je też wykonać samym cyrklem (twierdzenie Mohra-Mascheroniego)
↑ http://mathworld.wolfram.com/Model.html
↑ Jedna teoria może mieć wiele modeli, nie jest to więc definiowanie pojęć pierwotnych, bo wówczas każde pojęcie pierwotne miałoby wiele wykluczających się definicji.
↑ http://www.theory.caltech.edu/people/patricia/sptmb.html
↑ http://www.mathpath.org/concepts/geometries.htm
↑ np. twierdzenie Desarguesa oraz twierdzenie Pappusa
↑ w sensie metryki euklidesowej
↑ w sensie inkluzji
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, str. 262
↑ Zobacz przestrzeń euklidesowa
↑ Na przykład aksjomat ten jest niezbędny do udowodnienia twierdzenia Pitagorasa oraz twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta, równej 180°
↑ Na ogół w polskiej literaturze pisze się o "kołach wielkich" sfery, jednak jest to niekonsekwentne, gdyż koło to figura z wnętrzem, a krzywa będąca jej brzegiem to okrąg. W literaturze anglosaskiej spotykamy się za to konsekwentnie z określeniem great circle a nie great disk.
↑ en:Geodesic (general relativity)
↑ Ściślej: grawitacja to zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której znajduje się trajektoria danego ciała. Trajektoria jest w czasoprzestrzeni statyczną i niezmienną krzywą. W czasoprzestrzeni formalnie nic się nie zmienia ani nie porusza, bo obejmuje ona wszystkie chwile czasowe jednocześnie.

[edytuj] Bibliografia

Andrzej Szczepan Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: PWN, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna.
Franciszek Otto, Edward Otto: Podręcznik geometrii wykreślnej. Warszawa: PWN, 1975. ISBN 978-83-01-00933-5.
Wanda Szmielew: Od geometrii afinicznej do euklidesowej: rozważania nad aksjomatyką. Warszawa: PWN, 1983. ISBN 83-01-03513-7.

Większość wzorów w tym artykule pochodzi z:

Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.

[edytuj] Literatura dodatkowa

Tomasz Bogaczyk, Teresa Romaszkiewicz-Białas: 13 wykładów z geometrii wykreślnej. Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2003. ISBN 83-7085-725-6.
Marcin Braun: Konstrukcje geometryczne i jak sobie z nimi radzić. Gdańsk: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 1995. ISBN 83-85694-19-6.
Maciej Bryński, Ludomir Włodarski: Konstrukcje geometryczne. Warszawa: WSiP, 1979, seria: Biblioteczka Delty. Matematyka. ISBN 83-02-00856-7.
Harold Scott MacDonald Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
Nikolai Vladimirovič Efimov, E. R. Rozendorn: Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową. Warszawa: PWN, 1974.
Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian geometry. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-52401-0, ISBN 0-387-52401-0.
Marek Kordos, Ludomir Włodarski: O geometrii dla postronnych. Warszawa: PWN, 1981, seria: Biblioteka Problemów. ISBN 83-01-02788-6.
Marek Kordos: O różnych geometriach. Warszawa: Alfa, 1987, seria: Delta przedstawia. ISBN 83-7001-087-3.
Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wyd. 10. Warszawa: PWN, 1977.
Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do geometrii analitycznej zespolonej. T. 68. Warszawa: PWN, 1988, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-07464-7.
Mieczysław Majewski: Perspektywa wraz z konstrukcjami cieni dla kierunków architektura. Szczecin: Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Szczecińskiej, 1984.
Eugeniusz Niczyporowicz: Krzywe płaskie – wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej. Warszawa: PWN, 1991. ISBN 83-01-09734-5.
Hipolit Rumbowicz: Początki linearnego rysunku ułożone dla szkół parafialnych przez Hipolita Rumbowicza. Wilno: N. Glückenberg, 1827.
Stanisław Szerszeń: Nauka o rzutach. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1978.
Michał Szurek: Opowieści geometryczne. Warszawa: WSiP, 1995. ISBN 83-02-05664-2.
Bronisław Ślusarczyk: Podstawy prostopadłych odwzorowań geometrycznych. Warszawa, Łódź: PWN, 1981. ISBN 83-01-02562-X.

[edytuj] Linki zewnętrzne

Applet pokazujący różne równania prostej na płaszczyźnie
Marceli Stark: Geometria analityczna, Monografie Matematyczne, Tom 26. W: Biblioteka Wirtualna Nauki ICM [on-line]. Warszawa-Wrocław, 1951.
Proste na płaszczyźnie

Kategorie: Artykuły na medal • Krzywe

We provide Linux to the World

Prosta

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Geometria euklidesowa

[edytuj] Intuicyjny opis dla geometrii euklidesowej

[edytuj] Definicja Euklidesa

[edytuj] Pojęcie pierwotne a zbiór punktów

[edytuj] Własności

[edytuj] Niektóre ważne proste

[edytuj] Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)

[edytuj] Równanie ogólne

[edytuj] Równanie normalne

[edytuj] Równanie w postaci kierunkowej

[edytuj] Równanie parametryczne

[edytuj] Równanie kanoniczne

[edytuj] Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty

[edytuj] Równanie odcinkowe

[edytuj] Postać biegunowa równania

[edytuj] Odległość punktu od prostej

[edytuj] Wzajemne położenie na płaszczyźnie

[edytuj] Kąt między dwiema prostymi

[edytuj] Trzy punkty na prostej

[edytuj] Trzy proste przecinające się w jednym punkcie

[edytuj] Pęki prostych

[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa

[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa

[edytuj] Równanie parametryczne

[edytuj] Równania ogólne

[edytuj] Równania kanoniczne

[edytuj] Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

[edytuj] Kąt między prostymi w przestrzeni

[edytuj] Kąt między prostą a płaszczyzną

[edytuj] Geometrie nieeuklidesowe

[edytuj] Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego)

[edytuj] Geometria eliptyczna (sferyczna)

[edytuj] Czasoprzestrzeń

[edytuj] Inne przestrzenie i geometrie

[edytuj] Przestrzeń liniowa (wektorowa)

[edytuj] Przestrzeń metryczna

[edytuj] Geometria rzutowa

[edytuj] Geometria wykreślna

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Literatura dodatkowa

[edytuj] Linki zewnętrzne

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach