Okrąg

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy krzywej zamkniętej. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.

Okrąg

Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.

Słowo „okrąg” jest często mylone ze słowem „okręg” oznaczającym obszar administracyjny.

Spis treści

1 Definicja
2 Przestrzeń trójwymiarowa
3 Przestrzeń wielowymiarowa
4 Wzajemne położenie dwóch okręgów
- 4.1 Płaszczyzna
- 4.2 Przestrzeń
5 Przestrzeń metryczna
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $S = (x 0, y 0)$ będzie ustalonym punktem, zaś $r$ odcinkiem o dodatniej długości. Okręgiem nazywamy zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

$\{(x, y): (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2= r^2\} \,$ .

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \alpha \\ y = y_0 + r \sin \alpha \end{cases}$ ,

gdzie parametr $\alpha \in (0, 2\pi)$ .

[edytuj] Pojęcia

Punkt $S$ nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy odcinków o początku $S$ i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość $| r |$ nazywana jest tym terminem.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu, podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez $d$ , zachodzi równość $d = 2 r$ .

[edytuj] Wzory

Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem (kołem) jest $π$ wynoszące w przybliżeniu $3,14159265\dots$ Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Pi.

Długość okręgu wyraża się wzorem:

$O = 2\pi r \,$

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:

$S = \pi r^2 \,$

[edytuj] Uwagi

W ujęciu topologicznym okrąg to brzeg koła domkniętego.
Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.

[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa

Okrąg o środku w punkcie $S (x 0, y 0, z 0)$ i promieniu $r$ , zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej może być zdefiniowany jako część wspólna sfery o środku $S$ i płaszczyzny przechodzącej przez $S$ . Opisuje go układ równań:

$\begin{cases} A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) + C \cdot (z-z_0)=0 \\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \end{cases}$ ,

gdzie $r > 0$ oraz $A, B, C$ równocześnie się nie zerują.

[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa

Okrąg zanurzony w $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej o środku w punkcie $S(s_1, s_2, \dots, s_n)$ i promieniu $r$ może być zdefiniowany jako część wspólna $n - 1$ -wymiarowej sfery o środku $S$ oraz $n - 2$ hiperpłaszczyzn przechodzących przez $S$ . Każdy okrąg w przestrzeni wielowymiarowej może zatem być opisany układem $n - 1$ równań:

$\begin{cases} a_{1,1} \cdot (x_1 - s_1) + a_{1,2} \cdot (x_2 - s_2) + \dots + a_{1,n} \cdot (x_n - s_n) = 0 \\ a_{2,1} \cdot (x_1 - s_1) + a_{2,2} \cdot (x_2 - s_2) + \dots + a_{2,n} \cdot (x_n - s_n) = 0 \\ \dots \\ a_{n-2,1} \cdot (x_1 - s_1) + a_{n-2,2} \cdot (x_2-s_2) + \dots + a_{n-2,n} \cdot (x_n - s_n) = 0 \\ (x_1 - s_1)^2 + (x_2 - s_2)^2 + \dots + (x_n - s_n)^2 = r^2 \\ \end{cases}$

Jednak nie każdy układ równań tej postaci generuje okrąg, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie okrąg, a np. sfera.

[edytuj] Wzajemne położenie dwóch okręgów

Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach $O 1$ i $O 2$ oraz promieniach odpowiednio $r 1$ i $r 2$ . Przez $d (O 1, O 2)$ rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.

[edytuj] Płaszczyzna

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: $O_1 = O_2 \and r_1 = r_2$ ,
współśrodkowe – mają ten sam środek: $O 1 = O 2$ ,
styczne wewnętrznie-mają dokładnie jeden punkt wspólny,jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: $d (O 1, O 2) = | r 1 - r 2 |$ ,
styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: $d (O 1, O 2) = r 1 + r 2$ ,
rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: $d (O 1, O 2) < | r 1 - r 2 |$ , albo leżą na zewnątrz swoich kół: $d (O 1, O 2) > r 1 + r 2$ ,
przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: $| r 1 - r 2 | < d (O 1, O 2) < r 1 + r 2$ .

[edytuj] Przestrzeń

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

[edytuj] Przestrzeń metryczna

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. W dowolnej przestrzeni metrycznej $(X, \varrho)$ mamy więc:

$O(x_0, r) = \{x\colon \varrho(x_0, x) = r\}$ .

Metryka euklidesowa generuje okrąg, istnieją jednak metryki, które na płaszczyźnie euklidesowej generują zbiory takie jak kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach i obrócony o $45^\circ$ ). Na prostej okręgiem są punkty równo oddalone od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest sfera.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Krzywe

We provide Linux to the World

Okrąg

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Pojęcia

[edytuj] Wzory

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa

[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa

[edytuj] Wzajemne położenie dwóch okręgów

[edytuj] Płaszczyzna

[edytuj] Przestrzeń

[edytuj] Przestrzeń metryczna

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach