Okrąg dziewięciu punktów

Z Wikipedii

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków (na rysunku niebieskie) dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości (czerwone) oraz przez punkty (zielone) dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkata z jego ortocentrum.

Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.

[edytuj] Dowód

Zauważmy, że odcinek C'S_C jest średnicą okręgu opisanego na ΔC'S_CH_C, bo jest prosty(kąt między bokiem a wysokością na niego opuszczoną), więc jest oparty na średnicy.

,

gdzie H jest ortocentrum.

Zatem S_CB'||AH_A.

więc B'C'||CB.

Zatem

więc punkty S_C,B',C',H_C leżą na jednym okręgu.

Podobnie S_CA'||BH_B oraz A'C'||CA, więc , czyli punkt A' również leży na okręgu opisanym na ΔC'S_CH_C. Zatem S_C,H_C leżą na okręgu opisanym na ΔA'B'C'.

Analogicznie otrzymujemy, że na tym okręgu leżą S_B,H_B oraz S_A,H_A

Z czego wynika, że wszystkie dziewięć punktów leży na jednym okręgu.