Prosta Eulera
Z Wikipedii
Prosta Eulera – w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie prosta, która przechodzi przez ortocentrum danego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów.
Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego, a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.
[edytuj] Dowód
Niech 
będą obrazami punktów 
w jednokładności o skali 
i środku w punkcie C.
Wtedy 
.
Czworokąt A'OB'H' jest równoległobokiem, więc OB' = A'H'.
Zatem 
.
Środek ciężkości G dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc 
.
Ponieważ OB' | | AH, to 
, bo są to kąty naprzemianległe.
Zatem ΔB'OG, jest obrazem ΔAHG w jednokładności o środku w G i skali .
Stąd otrzymujemy, że 
leżą na jednej prostej oraz 
.
