Okrąg opisany na wielokącie

Z Wikipedii

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji. Do weryfikacji: Należy uzupełnić dowód twierdzenia, na razie jest tylko w jedną stronę

Okrąg opisany na wielokącie – okrąg, na którym opierają się wszystkie wierzchołki wielokata.

Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta oraz każdego wielokąta foremnego.

[edytuj] Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie

Twierdzenie. Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe π.

α + β = γ + δ = π

[edytuj] Dowód

Kąty α i α' oraz β i β' są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku otrzymujemy następujące zależności:

α' = 2α β' = 2β

Jednocześnie kąty α' i β' tworzą razem kąt pełny. Zatem:

α' + β' = 2π 2α + 2β = 2π α + β = π

Analogicznie postępujemy dla drugiej pary kątów.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• kula opisana,
• koło wpisane

To jest tylko zalążek artykułu związanego z geometrią. Jeśli możesz, rozbuduj go.