Pierścień Euklidesa

Z Wikipedii

Pierścieniem Euklidesa (dziedziną Euklidesa) nazywamy każdy taki pierścień całkowity R, że istnieje odwzorowanie ze zbioru niezerowych elementów R w zbiór liczb całkowitych dodatnich takie, że dla dowolnych istnieją takie, że a = bc + r i albo r = 0, albo h(r) < h(b).

Czasami dodatkowo przyjmuje się warunek dla .

[edytuj] Własności

Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem głównym.

Największy wspólny dzielnik dwóch niezerowych elementów pierścienia Euklidesa można odnaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Jeżeli R jest pierścieniem Euklidesa, , to możemy utworzyć ciąg równości:

taki, aby . Ciąg taki (jako malejący ciąg liczb całkowitych dodatnich) musi być skończony, zatem dla pewnego otrzymamy r_{k + 1} = 0. Dla najmniejszego takiego k prawdą jest, że r_k jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a,b pierścienia R. Zatem, jeśli potrafimy wyznaczyć , to możemy wyznaczyć największy wspólny dzielnik a i b.

[edytuj] Przykłady

Pierścieniami Euklidesa są na przykład:

• pierścień liczb całkowitych; widać, że funkcja h(x) = | x | spełnia warunki definicji,
• pierścień wielomianów nad dowolnym ciałem; określamy w warunkach definicji h(w(x)) jako stopień wielomianu w(x),