Pierścień ilorazowy

Z Wikipedii

Pierścień ilorazowy to pojęcie teorii pierścieni analogiczne do pojęcia grupy ilorazowej w teorii grup.

Niech Q będzie ideałem pierścienia S. Relacja określona: jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S. Zbiór ilorazowy S / R_Q z określonymi w nim działaniami:

• [a] + [b] = [a + b]
• [a][b] = [ab]

jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez S / Q i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia S przez ideał Q.

Pokazuje się, że dowolna relacja jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją R_Q dla pewnego ideału Q.

[edytuj] Własności

Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem.

• Jeśli S jest przemienny, to S/Q jest przemienny.
• Jeśli S posiada jedynkę, to S/Q posiada jedynkę. Jest nią klasa abstrakcji [1].
• S/Q nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem pierwszym.
• S/Q jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem maksymalnym.