Grupa ilorazowa

Z Wikipedii

Grupa ilorazowa – grupa, której elementami są warstwy danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, a działanie jest dziedziczone z grupy wyjściowej. Grupę tę można sobie wyobrażać jako grupę pierwotną, w której dokonano wszystkich utożsamień będących konsekwencją utożsamienia elementów ustalonej podgrupy normalnej z elementem neutralnym grupy. Innymi słowy jest to przestrzeń ilorazowa z działaniem oddziedziczonym z grupy wyjściowej, przy czym relacja równoważności wyznaczona jest jednoznacznie przez pewną podgrupę normalną.

Spis treści

1 Iloczyn kompleksowy
2 Definicja
3 Motywacja
4 Przykłady
5 Epimorfizm kanoniczny
6 Twierdzenie o homomorfizmie (faktoryzacji)
7 Własności
8 Bibliografia
9 Przypisy
10 Zobacz też

[edytuj] Iloczyn kompleksowy

W poniższych rozważaniach wykorzystane zostanie dwuargumentowe działanie na zbiorze potęgowym grupy $G$ : Jeżeli $S, T$ są podzbiorami zbioru $G$ , to iloczynem kompleksowym tych zbiorów nazywa się zbiór

$ST = \{ st\colon s \in S,\, t \in T \}$ .

Jeżeli np. $S = {s}$ , to przyjmujemy oznaczenie ${s} T = s T$ . Iloczyn kompleksowy podzbiorów grupy jest działaniem łącznym i ma element neutralny – zbiór złożony tylko z elementu neutralnego grupy $G$ . Wynika stąd, że zbiór potęgowy zbioru $G$ z działaniem iloczynu kompleksowego jest monoidem.

Za pomocą tego działania wyjaśnione zostanie czym w istocie jest grupa ilorazowa, a następnie podgrupa normalna:

Grupa ilorazowa grupy $G$ jest podziałem $G$ będącym samym w sobie grupą z powyższym działaniem.

Elementami podziału są warstwy dzielnika normalnego względem którego wyznaczamy podgrupę ilorazową. Są one w pełni wyznaczone przez sam dzielnik, który jest elementem podziału zawierającym element neutralny $e \in G$ .

Podgrupa $H$ grupy $G$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość warstw lewostronnych i prawostronnych, tzn gdy $a H = H a$ dla każdego $a \in G$ . Korzystając z wyżej zdefiniowanego działania dwuargumentowego na podzbiorach $G$ , normalność podgrupy można wyrazić następująco:

podgrupa normalna w

G

to podgrupa, która jako element zbioru podzbiorów

G

komutuje z każdym innym podzbiorem

G

(ze względu na działanie iloczynu kompleksowego).

Pisze się $H \vartriangleleft G$ , aby wyrazić fakt, że $H$ jest podgrupą normalną (dzielnikiem normalnym) grupy $G$ . Podgrupy, które komutują w tym sensie z dowolną podgrupą $G$ nazywane są podgrupami permutowalnymi (lub też quasinormalnymi).

[edytuj] Definicja

Niech $G$ będzie grupą oraz $H$ będzie jej podgrupą normalną. Ponadto, niech $G / H$ oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy $G$ względem $H$ , czyli $G/H = \{aH : a \in G\}$ . Działaniem grupowym określonym na $G / H$ jest iloczyn podzbiorów zdefiniowany wyżej. Innymi słowy, dla każdego $aH, bH \in G/H$ iloczynem $a H$ oraz $b H$ jest $(a H)(b H)$ . Działanie to jest zamknięte w tym zbiorze, ponieważ $(a H)(b H)$ jest w rzeczywistości warstwą lewostronną:

(a H)(b H) = a (H b) H = a (b H) H = (a b) H H = (a b) H

W powyższych równościach korzysta się z normalności $H$ . Ponieważ $H$ jest normalna, to warstwy lewostronne oraz prawostronne są sobie równe, dlatego $G / H$ może być zdefiniowana jako zbiór warstw prawostronnych $H$ w $G$ . Ponieważ działanie to określone jest za pomocą iloczynu podzbiorów $G$ , to działanie grupowe jest dobrze określone (tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów), łączne i ma element neutralny $H$ . Elementem odwrotnym elementu $aH \in G/H$ jest $a - 1 H$ . Taką konstrukcję nazywa się grupą ilorazową grupy $G$ przez (względem) $H$ .

Grupy ilorazowe definiuje się często bez odwoływania się do iloczynu podzbiorów: grupą ilorazową $G / H$ nazywa się wtedy po prostu zbiór warstw $G / H$ z działaniem określonym wzorem

(a H)(b H) = (a b) H

dla wszystkich $a, b\in G$ .

Wówczas założenie normalności podgrupy $H$ służy wykazaniu, że zdefiniowane wyżej działanie na warstwach jest poprawnie określone (wynik działania nie zależy od wyboru reprezentantów warstw), czyli jeśli $a H = a' H$ oraz $b H = b' H$ , to również $(a b) H = (a' b') H$ . Dodatkowo wynika już stąd, że dla każdego $a \in G$ zachodzi $(a H) - 1 = a - 1 H$ oraz $e H = H$ jest elementem neutralnym grupy ilorazowej.

[edytuj] Motywacja

Powód, dla którego $G / H$ nazywa się grupą ilorazową, ma swoje źródło w dzieleniu liczb całkowitych. Podczas dzielenia 12 przez 3 otrzymuje się odpowiedź 4, ponieważ można pogrupować 12 obiektów w 4 podzbiory po 3 obiekty. Konstrukcja grupy ilorazowej naśladuje ten sam pomysł, jednak ostateczną odpowiedzią jest grupa, a nie liczba, ponieważ grupy mają bardziej złożoną strukturę niż losowy zbiór obiektów.

Dokładniej, dla grupy $G / H$ , gdzie $H$ jest podgrupą normalną w $G$ , naturalne „grupowanie” pochodzi od struktury grupowej: są nimi warstwy $H$ w $G$ . Ponieważ wzięto grupę i jej podgrupę normalną, ostateczny iloraz zawiera więcej informacji niż tylko liczbę warstw (o której mówi zwykłe dzielenie) – mianowicie ma on sam strukturę grupy.

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Podzielność przez trzy

Zobacz więcej w osobnym artykule: arytmetyka modularna.

Niech $G = \mathbb Z$ oznacza addytywną grupę liczb całkowitych (tzn. z działaniem dodawania), a $H = 3 \mathbb Z$ jej podgrupę liczb podzielnych przez 3, która jest normalna z powodu przemienności grupy $G$ . Wtedy warstwami są zbiory

$0 + 3 \mathbb Z = \{0 + x : x \in 3 \mathbb Z\} = \{\dots, -6, -3,\ 0,\ 3,\ 6, \dots\}$

$1 + 3 \mathbb Z = \{1 + x : x \in 3 \mathbb Z\} = \{\dots, -5, -2,\ 1,\ 4,\ 7, \dots\}$

$2 + 3 \mathbb Z = \{2 + x : x \in 3 \mathbb Z\} = \{\dots, -4, -1,\ 2,\ 5,\ 8, \dots\}$

Zamiast $0 + 3 \mathbb Z$ można pisać $3 \mathbb Z$ , jednak nie czynimy tego ze względu na jasność wywodu. Pozostałe warstwy $x + 3 Z$ dla dowolnego $x \in \mathbb Z$ są równe jednej z powyższych (ponieważ podział na warstwy stanowi podział zbioru). Zatem zbiór warstw $G / H$ to

$\{0 + 3 \mathbb Z, 1 + 3 \mathbb Z, 2 + 3 \mathbb Z\}$ .

Na tym zbiorze określamy działanie $\boxplus$ tak, że dla $a,\; b \in \mathbb Z$ mamy

$(a + 3 \mathbb Z) \boxplus (b + 3 \mathbb Z) = (a + b) + 3 \mathbb Z$ .

Można bezpośrednio sprawdzić, że powyższy wzór poprawnie definiuje działanie $\boxplus$ oraz że zbiór warstw z tym działaniem jest grupą zawierającą trzy elementy, a zatem izomorficzną z $\mathbb Z_3$ .

[edytuj] Moduł niezerowej liczby rzeczywistej

Zobacz więcej w osobnym artykule: wartość bezwzględna.

Niech $\Bbb R^*$ oznacza grupę niezerowych liczb rzeczywistych z działaniem zwykłego mnożenia. Zbiór ${1, - 1}$ jest jej podgrupą normalną. Warstwami względem tej podgrupy są pary liczb przeciwnych

r { - 1,1} = {r, - r}

określone dla wszystkich $r\in \Bbb R^*$ .

Mnożenie w grupie ilorazowej wygląda wówczas następująco:

$r\{-1,1\}\cdot s\{-1,1\}=(rs)\{-1,1\}=\{-rs, rs\}$

dla $r,s\in \mathbb{R}^*$ . Stosując poniższe twierdzenie o izomorfizmie można wykazać, że grupa ilorazowa $\mathbb{R}^*/\{-1,1\}$ jest izomorficzna z grupą liczb rzeczywistych dodatnich z działaniem mnożenia. Epimorfizm kanoniczny $r\mapsto r\{-1,1\}$ można interpretować jako wartość bezwzględną w zbiorze $\mathbb{R}^*$ .

[edytuj] Znak liczby rzeczywistej różnej od zera

Zobacz więcej w osobnym artykule: signum.

Rozpatrzmy podgrupę normalną liczb dodatnich $\Bbb R^+$ wyżej danej grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych $\Bbb R^*$ . Zbiór warstw składa się ze zbioru liczb dodatnich $\Bbb R^+$ oraz ujemnych $\Bbb R^-$ . Działanie $\odot$ na warstwach określone zgodnie z opisanym wcześniej schematem spełnia

$\Bbb R^+\odot\Bbb R^-=\Bbb R^-\odot\Bbb R^+=\Bbb R^-$ oraz $\Bbb R^+\odot\Bbb R^+=\Bbb R^-\odot\Bbb R^-=\Bbb R^+$ .

Grupa ilorazowa $({\mathbb R}^*/{\mathbb R}^+,\odot)$ jest izomorficzna z grupą liczb ${1, - 1}$ z mnożeniem, a tytuł przykładu sugeruje, że homomorfizm $\Bbb R \to \Bbb R/\Bbb R^+: r \mapsto r \Bbb R^+$ jest tożsamy z funkcją signum określoną dla niezerowych liczb rzeczywistych.

[edytuj] Epimorfizm kanoniczny

Jeśli $H$ jest pogrupą normalną grupy $G$ , to odwzorowanie ilorazowe $\pi\colon G \to G/H$ dane wzorem

π(g) = g H

jest poprawnie określonym epimorfizmem grup, którego jądrem jest $H$ . Epimorfizm ten nazywany jest epimorfizmem kanonicznym bądź naturalnym grupy $G$ na grupę ilorazową $G / H$ .

[edytuj] Twierdzenie o homomorfizmie (faktoryzacji)

Niech $G, H$ będą grupami, $N$ będzie podgrupą normalną grupy $G$ oraz $\pi\colon G\to G/N$ będzie epimorfizmem kanonicznym. Jeżeli odwzorowanie $\varphi\colon G\to H$ jest homomorfizmem, to istnieje dokładnie jeden monomorfizm $\tilde \varphi\colon G/N \to H$ taki, że

$\tilde \varphi \circ \pi = \varphi$ ,

to znaczy

$\tilde \varphi(gN) = \varphi(g)$

dla dowolnego $g \in G$ . Ponadto, jeżeli $\varphi$ jest epimorfizmem, to przekształcenie $\tilde \varphi$ jest izomorfizmem.

Ponieważ jądro każdego homomorfizmu grup jest podgrupą normalną, więc bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia o homomorfizmie jest twierdzenie, zwane często twierdzeniem o izomorfizmie, mówiące, że jeżeli $\varphi\colon G\to H$ jest homomorfizmem grup, to

$\operatorname{im}\;\varphi\simeq G/\ker \varphi$ .

Analogicznie twierdzenia formułuje się dla homomorfizmów pierścieni (przy czym podgrupy normalne zastępuje się ideałami).

[edytuj] Własności

Grupa ilorazowa $G / G$ jest izomorficzna z podgrupą trywialną (tzn. jednoelementową), a $G / {e}$ jest izomorficzna z $G$ .
Abelowość (przemienność), nilpotentność, rozwiązalność, cykliczność oraz bycie grupą skończenie generowaną są własnościami dziedzicznymi dla grup ilorazowch.
Każda grupa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy wolnej.
Rząd $G / H$ jest z definicji równy $| G : H |$ , indeksowi $H$ w $G$ . Jeżeli $G$ jest skończona, to indeks jest równy rzędowi $G$ dzielonemu przez rząd $H$ . Należy jednak pamiętać, że choć $G / N$ może być skończonego rzędu, to oba rzędy $G$ i $H$ mogą być nieskończone, np. $\mathbb Z/2\mathbb Z$ .
Zachodzi wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między podgrupami $G$ zawierającymi $N$ oraz podgrupami $G / N$ ; jeżeli $H$ jest podgrupą w $G$ zawierającą $N$ , to odpowiadającą jej podgrupą $G / N$ jest obraz epimorfizmu kanonicznego $π(H)$ . Odpowiedniość ta zachowana jest również dla podgrup normalnyh w $G$ oraz $G / N$ .
Jeżeli $H$ zawiera się w centrum $G$ , to $G$ nazywa się rozszerzeniem centralnym grupy ilorazowej.
Jeżeli $H$ jest podgrupą w skończonej grupie $G$ , a rząd $H$ to połowa rzędu $G$ , to $H$ jest zawsze podgrupą normalną, dlatego istnieje $G / H$ i jest ona izomorficzna z $\mathbb C_2$ . Wynik ten może być wyrażony jako „dowolna podgrupa o indeksie 2 jest normalna” i w tej postaci obowiązuje również dla grup nieskończonych (zob. dowód).
Niekiedy, ale nie zawsze, grupa $G$ może być zrekonstruowana z $G / H$ oraz $H$ jako iloczyn prosty lub półprosty. Problem określenia kiedy tak jest, jest znany jako problem rozszerzenia. Oto przykład, kiedy nie jest to możliwe: $\mathbb Z_4 / \{0, 2\}$ jest izomorficzna z $\mathbb Z_2$ , a także z ${0,2}$ , ale jedynym iloczynem półprostym jest iloczyn prosty, ponieważ $\mathbb Z_2$ ma wyłącznie trywialny automorfizm. Stąd $\mathbb Z_4$ , która różni się od $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ nie może być odtworzona.