Teoria grup
Z Wikipedii
Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.
Spis treści |
[edytuj] Historia
Początki teorii grup były związane z badaniami nad rozwiązalnością równań algebraicznych. W XVI wieku znaleziono metody rozwiązywania równań 3 i 4 stopnia. (Równania sześcienne były rozwiązane przez Scipione del Ferro i ponownie w 1535 przez Niccolo Tartaglię. W 1540, Ferrari odkrył metodę redukcji równań 4. stopnia do równań sześciennych. Po raz pierwszy wyniki te były opublikowane przez Cardano w jego dziele Ars Magna w 1545[1].) W roku 1824 matematyk norweski Niels Henrik Abel udowodnił, że niektórych równań algebraicznych rzędu większego niż 4 nie da się rozwiązywać przez podanie podobnych wzorów; postawiono więc pytanie: „jakie równanie algebraiczne o danych współczynnikach liczbowych można w podobny sposób rozwiązać?” Matematyk francuski Évariste Galois rozwiązał ten problem w roku 1830, badając własności pewnej grupy skończonej (por. grupa rozwiązalna). Prace Galois zauważone i docenione dopiero w 18 lat po jego śmierci dały początek teorii grup, która z kolei zapoczątkowała rozwój nowoczesnej algebry.
[edytuj] Zastosowania
Teoria grup ma liczne zastosowania w fizyce i chemii. Wszędzie, gdzie bada się symetrie obiektów fizycznych (atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych) lub bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pole fizyczne stosowane są narzędzia teorii grup.
W szczególności:
- związek grup przekształceń z symetriami układów fizycznych prowadzi do opisu zasad zachowania i twierdzenia Noether, jednego z najważniejszych dla fizyki twierdzeń matematycznych
- formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup.
W szczególności teorią grup zainteresowani są przedstawiciele takich dziedzin, jak fizyka cząstek elementarnych, spektroskopia czy fizyka ciała stałego (w tym krystalografia). Jej zastosowania obejmują także kryptografię, genetykę i wiele innych dziedzin nauki, a nawet sztuki.
