Potęga punktu

Z Wikipedii

Potęga punktu A względem okręgu o (o środku w punkcie O) wyraża się wzorem: P(A,o) = | AO | ² − r².

• P(A,o) > 0 dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. Jest wtedy równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu A do okręgu o
• P(A,o) < 0 dla punktu leżącego wewnątrz okręgu. Jest równa co do wartości bezwzględnej kwadratowi połowy najkrótszej cięciwy okręgu o przechodzącej przez punkt A.
• P(A,o) = 0 dla punktów na okręgu

Punkty o równej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.

Z potęgą punktu względem dwóch okręgów ściśle wiąże się pojęcie prostej potęgowej.

[edytuj] Twierdzenie Euklidesa

Dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu potęga równa jest , gdzie punkty B i C są punktami przecięcia dowolnej prostej k przechodzącej przez punkt A z okręgiem o (w szczególności P(A,o) = | AD | ², gdzie D jest punktem styczności prostej k z okręgiem).

[edytuj] Dowód

dla dwóch dowolnych siecznych ABC i ADE, z podobieństwa trojkątów ACD i AEB wynika proporcja , co po przekształceniu daje tezę: . Widzimy, że dla siecznej AO (przechodzącej przez środek okręgu) .

W przypadku punktu wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.