Sieczna

Z Wikipedii

Sieczna s krzywej K jest to prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach P i Q.

Gdy dane są dwa punkty i , przez które przechodzi prosta, jej równanie przedstawia się następująco:

(y₁ − y₀)(x − x₀) − (x₁ − x₀)(y − y₀) = 0

Spis treści 1 Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt 1.1 Dowód 1.1.1 Dla P na zewnątrz okręgu 1.1.2 Dla P wewnątrz okręgu

[edytuj] Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt

Dla danego punktu P i okręgu o, dla każdej siecznej przechodzącej przez P i przecinającej o w punktach A i B wartość wyrażenia jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych.

[edytuj] Dowód

[edytuj] Dla P na zewnątrz okręgu

Poprowadźmy z punktu P styczną i sieczną okręgu o. Punkt styczności nazwijmy T, a punkty przecięcia z sieczną A i B, gdzie |PA|<|PB|. Kąt PBT jest kątem wpisanym opartym na cięciwie TA, więc przystaje do kąta dopisanego ATP. Trójkąty ATP i TBP mają wspólny kąt TPB, a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że: . Po wymnożeniu obustronnie przez otrzymujemy

.

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej , a | PT | jest stałe, to też musi być stałe, co kończy dowód.

[edytuj] Dla P wewnątrz okręgu

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne wg cechy kk. Stąd:

co kończy dowód.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z geometrią. Jeśli możesz, rozbuduj go.

Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki, styczna, normalna