Prosta potęgowa

Z Wikipedii

Prosta potęgowa (oś potęgowa) dwóch okręgów to zbiór takich punktów, które mają równe potęgi względem ich obu. Wszystkie punkty o tej własności leżą na pewnej prostej prostopadłej do prostej przechodzącej przez środki okręgów.

[edytuj] Dowód

Niech r₁, r₂, x, oznaczają odpowiednio promienie okręgów oraz odległość między ich środkami.

Załóżmy, że dla pewnego punktu P leżącego na prostej S₁S₂ zachodzi

P(P,C₁) = P(P,C₂)

Jeśli x = 0, to | PS₁ | = | PS₂ | dla każdego P, więc w przypadku, gdy r₁ = r₂ potęga każdego punktu względem obu okręgów jest taka sama (okręgi pokrywają się). W przypadku różnych promieni równość P(P,C₁) = P(P,C₂) nie zachodzi dla zadnego punktu. W dalszych rozważaniach rozpatrujemy tylko x > 0.

Rozpatrzmy następujące przypadki:

• P leży poza odcinkiem S₁S₂ bliżej punktu S₁, czyli | PS₂ | = | PS₁ | + x.

• P leży na odcinku S₁S₂, czyli | PS₂ | = x − | PS₁ | .

• P leży poza odcinkiem S₁S₂ bliżej punktu S₂, czyli | PS₂ | = | PS₁ | − x.

Zatem jeśli przyjmiemy zwrot zgodny z wektorem za dodatni, to . Wektor jednoznacznie wyznacza punkt P.

Zatem na prostej S₁S₂ jest dokładnie jeden taki punkt P, że jego potęga względem obu okręgów jest taka sama. Weźmy pewien punkt P' leżący na prostopadłej do S₁S₂ przechodzącej przez P. Pokażemy, że potęga punktu P' jest taka sama dla obu okręgów.

Potęga P jest taka sama względem obu okręgów, więc:

P(P,C₁) = P(P,C₂)

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że

| PS₁ | ² + | P'P | ² = | P'S₁ | ² oraz | PS₂ | ² + | P'P | ² = | P'S₂ | ²

więc

P(P',C₁) = P(P',C₂)

czyli dla dowolnego punktu P' leżącego na prostej prostopadłej do S₁S₂ przechodzącej przez punkt P potęga względem obu okręgów jest taka sama.

Załóżmy, że pewien punkt R leży poza prostą potęgową i P(R,C₁) = P(R,C₂). Niech R' będzie jego rzutem prostokątnym na prostą łączącą środki okręgów.

P(R',C₁) = P(R',C₂)

Zatem na prostej S₁S₂ są dwa różne punkty, których potęga względem obu okręgów jest taka sama - P oraz R', co nie jest możliwe. Zatem wszystkie punkty o tej samej potędze względem dwóch okręgów leżą na prostej potęgowej.

[edytuj] Właściwości

• Gdy dwa okręgi są styczne, to ich prosta potęgowa jest ich wspólną styczną przechodzącą przez ich punkt styczności. Dowód: Potęga punktu styczności względem obu okręgów jest równa 0, więc potęgowa jest prostopadłą do S₁S₂ przechodzącą przez ten punkt.
• Gdy okręgi przecinają się w dwóch punktach, to potęgowa przechodzi przez ich punkty przecięcia. Dowód: Potęgi punktów przecięcia (jako punktów leżących na okręgach) są równe 0 względem obu okręgów, więc leżą na prostej potęgowej.
• Gdy okręgi nie przecinają się, to prosta potęgowa tych okręgów leży poza nimi.
• Gdy mamy trzy okręgi, to trzy proste potęgowe (dla trzech par okręgów) tych okręgów są współpękowe. Przecinają się w punkcie, którego potęgi względem wszystkich trzech okręgów są równe. Dowód: Potęga punktu T przecięcia prostej potęgowej okręgów C₁ i C₂ z prostą potęgową okręgów C₁ i C₃ jest taka sama względem okręgów C₁ i C₂ oraz względem okręgów C₁ i C₃, więc jest taka sama względem C₂ i C₃. Zatem potęgowa C₂ i C₃ również przechodzi przez punkt T.