Dyskusja:Przestrzeń liniowa

Z Wikipedii

Wydaje się że "aksomaty zgodności" są w tej definicji żle wpisane.. Sam nie czuje się na siłach żeby to poprawiać więc prosiłbym żeby ktoś z Wikipedystów to naprawił..

---> aksjomaty poprawione chociaz kiepsko to wyglada

Spis treści

1 LaTeX
2 Ze zgłoś błąd
3 Dwa mnożenia
4 Przeniesione z artykułu
- 4.1 Uwagi

[edytuj] LaTeX

Ktoś mógłby przerobić wzory na składnię LaTeXową. --> zabrałem się za to, niebawem dokończę. Tomasz "Dabroz" Dąbrowski 02:56, 18 gru 2006 (CET)

[edytuj] Ze zgłoś błąd

Trochę trudno poprawić mi samemu, więc piszę zamiast poprawiać. W def. mamy trzy działania (przy czym dwa są oznaczone tym samym symbolem (+)), a naprawdę mamy 4, gdyż mnożenie wektorów przez skalary jest czymś innym niż mnożenie skalarów. To, że w praktyce używamy tych samych oznaczeń, nie jest usprawiedliwieniem. Powinno zatem być, iż w V jest określone dodawanie wektorów (+), K jest ciałem z + i x oraz mamy mnożenie (x) skalarów przez wektory. W tych oznaczeniach aksjomaty zgodności mają postać: (a+b) (x) v = a(x)v (+) b(x)v (axb) (x) v = a (x) (b (x) v) a (x) (v (+) u) = a(x)v (+) a(x)u 1 (x) v = v

Zgłoszono: Wojciech Florek, 21:33, 12 mar 2007 (CET)

[edytuj] Dwa mnożenia

Jest jeszcze jeden kłopot: symbol $\otimes$ w algebrze liniowej ma stałe znaczenie - oznacza iloczyn tensorowy. A symbol $\oplus$ oznacza sumę prostą przestrzeni. Prędzej czy później pojawią się konflikty oznaczeń.

Może lepiej byłoby używać zwykłych $+$ i $\cdot$ dla skalarów, a np. $\mathbf{+}$ i $\bullet$ dla wektorów?

BTW, "aksjomaty zgodności" nazywają się "aksjomaty przestrzeni wektorowej" (szósty, ósmy, siódmy i dziewiąty) - o ile wektor zerowy jest wymieniony jako element struktury lub struktury grupy abelowej.

--194.146.251.82 19:43, 13 maja 2007 (CEST)MSz

[edytuj] Przeniesione z artykułu

[edytuj] Uwagi

Należy zauważyć, że siódmy z powyższych aksjomatów mówiący, iż $a (b v) = (a b) v$ , nie oznacza łączności działania, ponieważ wspomniane są tam dwa działania: mnożenie przez skalar $b v$ oraz mnożenie w ciele $a b$ .

Niektóre źródła dołączają również dwa aksjomaty zamkniętości:

$V$ jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,

jeżeli $u , v \in V$ , to $u + w \in V$ ,
$V$ jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,

jeżeli $a \in K,\; v \in V$ , to $a v \in V$ .

Jednakże w nowoczesnym rozumieniu tych operacji jako odwzorowań o przeciwdziedzinie $V$ wynika to z definicji i uszczupla listę niezależnych aksjomatów. Obowiązywanie aksjomatów zamkniętości jest kluczem do określenia czy dany podzbiór przestrzeni linowej jest podprzestrzenią.

Zauważmy również, że zapis $v a$ , gdzie $v$ oraz $a \in K$ nie jest ściśle rzecz ujmując zdefiniowany. Ponieważ ciało jest przemienne napisy $a v$ oraz $v a$ traktowane są często jako równoważne. Dodatkowo, jeżeli $v , w \in V$ , zaś $a \in K$ , a przestrzeń liniowa jest zarazem algebrą nad ciałem $K$ , to $a v w = v a w$ , co sprawia, że dogodnie jest traktować $a v$ i $v a$ jako wielkości reprezentujące ten sam wektor.

Algebraiczne ujęcie stanowi, że przestrzeń liniowa $V$ jest strukturą algebraiczną $(V, K, \oplus, \circ, +, \cdot, \mathbf 0, \mathbf 1, 0, 1)$ , gdzie $\oplus\cdot V\times V\to V, \circ\colon K\times V\to V$ , zaś $+, \cdot$ działaniami w ciele $K$ .