Podprzestrzeń liniowa

Z Wikipedii

Podprzestrzeń liniowa (wektorowa) – dowolny niepusty podzbiór ustalonej przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową.

Innymi słowy, podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, że należy do niego kombinacja liniowa dowolnych dwóch jego wektorów. Z pomocą indukcji matematycznej, można udowodnić, że należy do niego kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów. Własność tę nazywa się zamkniętością ze względu na branie kombinacji liniowych elementów tego zbioru.

Część wspólna dowolnej rodziny podprzestrzeni pewnej przestrzeni liniowej również stanowi jej podprzestrzeń. Podprzestrzenie liniowe są podgrupami przestrzeni liniowych ze względu na dodawanie wektorów.

Spis treści

1 Definicja
2 Wymiar i kowymiar
3 Przykłady
4 Powłoka liniowa
5 Działania na podprzestrzeniach
- 5.1 Działania teoriomnogościowe
- 5.2 Suma algebraiczna
6 Przypisy
7 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Jeśli $V$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$ , to jej niepusty podzbiór $U$ nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni $V$ jeśli

$\forall_{a \in K}\; \forall_{\mathbf u \in U}\; \alpha\mathbf u \in U$ ^[1],
$\forall_{\mathbf u, \mathbf v \in U}\; \mathbf u + \mathbf v \in U$ .

[edytuj] Wymiar i kowymiar

Zobacz więcej w osobnych artykułach: wymiar (matematyka), kowymiar.

Wymiarem podprzestrzeni nazywamy jej wymiar jako przestrzeni liniowej. Niech $U$ oraz $W$ będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej $V$ . Oczywistym jest fakt, że wymiar podprzestrzeni nigdy nie jest większy od wymiaru przestrzeni, która go zawiera:

$\dim U \leqslant \dim V$ .

Kowymiarem $W$ w $V$ , oznaczanym $\operatorname{codim}\;W$ nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej $V / W$ . Jeżeli $V$ jest skończeniewymiarowa, to

$\operatorname{codim}\; W = \dim V/W = \dim V - \dim W$ .

Ważną własnością obowiązującą dla przestrzeni skończeniewymiarowych jest:

$\dim U = \dim V \implies U = V$ .

[edytuj] Przykłady

W każdej przestrzeni liniowej $V$ zbiór $\{\mathbf 0\}$ oraz sama $V$ są podprzestrzeniami $V$ nazywanymi czasami trywialnymi.
W przestrzeni $\mathbb R^2$ wyróżnijmy podzbiór złożony z wektorów postaci $[x,3 x]$ . Jest on podprzestrzenią $\mathbb R^2$ wymiaru $1$ . Geometrycznie, podzbiór ten można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt $(1,3)$ .
Wyróżnijmy analogicznie w przestrzeni $\mathbb R^3$ podzbiór złożony z wektorów postaci $[x,3 x, z]$ będący podprzestrzenią $\mathbb R^3$ . Geometrycznie, podzbiór ten przedstawia płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty $(0,0,1)$ i $(1,3,0)$ , zatem jest to podprzestrzeń wymiaru $2$ .
W zbiorze $[0, 1]^{\mathbb R}$ wszystkich funkcji rzeczywistych określonych na przedziale $[0,1]$ można wyróżnić podzbiór $\operatorname{B}[0, 1]$ funkcji ograniczonych, który stanowi podprzestrzeń tej przestrzeni.
Jeśli ciało $F$ jest rozszerzeniem ciała $K$ , to $F$ moża rozpatrywać jako przestrzeń liniową nad ciałem $K$ . Na przykład ciało liczb zespolonych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych^[2], a ciało liczb rzeczywistych przestrzenią nad ciałem liczb wymiernych.

[edytuj] Powłoka liniowa

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Dla danego zbioru $A$ wektorów przestrzeni liniowej $V$ istnieje zawsze najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca zbiór $A$ – jest ona zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wektorów zbioru $A$ . Nazywamy ją powłoką lub otoczką liniową (domknięciem liniowym) zbioru $A$ albo też podprzestrzenią rozpiętą (generowaną) przez zbiór $A$ i oznaczamy symbolem $\operatorname{lin}\;A$ lub $\operatorname{span}\;A$ .

Podprzestrzeń przestrzeni $\mathbb R^2$ generowana przez zbiór $\{[1, 3],\; [2, 6],\; [-3, -9]\}$ opisana jest w trzecim przykładzie.

Oczywiście, każda podprzestrzeń jest równa swojej powłoce liniowej:

$\operatorname{lin}(U) = U$ .

[edytuj] Działania na podprzestrzeniach

[edytuj] Działania teoriomnogościowe

Dla danych podprzestrzeni $U$ oraz $W$ przestrzeni liniowej $V$ ich przekrój $U \cap W := \{\mathbf v \in V\colon \mathbf v \mbox{ jest elementem } U \mbox{ oraz } W\}$ również jest podprzestrzenią $V$ .

Dowód: Niech $\mathbf v, \mathbf w \in U \cap W$ , wówczas tak $\mathbf v$ jak i $\mathbf w$ należy do obu przestrzeni $U$ oraz $W$ . Ponieważ $U$ jest podprzestrzenią, to $\mathbf v + \mathbf w \in U$ , podobnie $\mathbf v + \mathbf w \in W$ . Stąd $\mathbf v + \mathbf w \in U \cap W$ .; Niech $\mathbf v \in U \cap W$ , a $c$ będzie skalarem. Wówczas $\mathbf v$ należy do obu przestrzeni $U$ oraz $W$ . Ponieważ $U$ oraz $W$ są podprzestrzeniami, to $c\mathbf v$ należy tak do $U$ jak i $W$ .

Suma mnogościowa $U \cup W$ jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z sumowanych przestrzeni zawiera się w drugiej, czyli $U \subseteq W$ lub $W \subseteq U$ .

[edytuj] Suma algebraiczna

Najmniejszą podprzestrzenią przestrzeni $V$ , zawierającą podprzestrzenie $U$ i $W$ jest zbiór

$U + W := \{\mathbf u + \mathbf w\colon \mathbf u \in U \mbox{ oraz } \mathbf w \in W \}$ ,

który nazywamy sumą (algebraiczną) podprzestrzeni $U$ i $W$ . Między wymiarami części wspólnej i sumy podprzestrzeni $U$ i $W$ zachodzi związek

$\dim(U \cap W) + \dim(U + W) = \dim U + \dim W$ ^[3].

Jeżeli $U + W = V$ oraz $U \cap W = \{\mathbf 0\}$ , to sumę tych przestrzeni nazywamy sumą prostą, co zapisuje się $U \oplus W = V$ . Wynika stąd w szczególności, że

dim V = dim U + dim W

Jeżeli $V$ jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne dowolnej podprzestrzeni przestrzeni $V$ jest również podprzestrzenią $V$ .

Przypisy

↑ Wynika stąd, że zbiór $\scriptstyle{U}$ nie może być pusty i należy do niego przynajmniej wektor zerowy $\scriptstyle{\mathbf 0 \in U}$ .
↑ Bazą tej przestrzeni jest zbiór $\scriptstyle{\{1, i\}}.$
↑ Związek ten jest analogiczny związkowi jaki zachodzi między objętościami brył $\scriptstyle{A,B}$ przestrzeni trójwymiarowej - jeśli przez $\scriptstyle{\operatorname{vol}}$ oznaczyć objętość bryły, wówczas

$\scriptstyle{\operatorname{vol}(A\cup B)=\operatorname{vol}(A)+\operatorname{vol}(B)-\operatorname{vol}(A\cap B)}$