Róg Gabriela

Z Wikipedii

Róg Gabriela (lub trąbka Torricelliego) – bryła geometryczna, opisana przez Evangelistę Torricelliego, o nieskończonej powierzchni zewnętrznej, ale skończonej objętości. Nazwą nawiązuje do archanioła Gabriela, który ogłosi Sąd Ostateczny zadęciem w róg.

Dwuwymiarowy rysunek rogu Gabriela

[edytuj] Definicja matematyczna

Róg Gabriela jest wykresem funkcji $y= \frac{1} {x}$ w dziedzinie $x \ge 1$ (unikając tym samym asymptoty w punkcie x = 0), obróconym o 360 stopni w trzech wymiarach, dookoła osi x. Odkrycie figury nastąpiło w wyniku zastosowania zasady Cavalierego, przed wprowadzeniem rachunku całkowego. Obecnie, rachunek całkowy może być użyty do obliczenia objętości takiej bryły w granicach x = 1 i x = a, gdzie a > 1.

Używając całkowania, można wykazać że objętość V i pole powierzchni A wynoszą:

$V = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)$

$A = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a$

Wartość $a$ może być nieskończenie duża, ale z powyższych równań wynika, że objętość nigdy nie przekroczy wartości $π$ , dlatego też można uznać $π$ za skończoną wartość objętości takiej bryły, ponieważ górną granicą takiej funkcji jest:

$\lim_{a \to \infty}\pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi$

Jeśli zaś chodzi o pole powierzchni, to wyrażenie $2πln a$ rośnie proporcjonalnie do ln(a), więc nie ma górnej granicy, ponieważ:

$2 \pi \ln a \rightarrow \infty$ dla $a \rightarrow \infty$

lub też:

$\lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a = \infty$

[edytuj] Paradoks malarzy

Istnienie takiej bryły uznano za paradoks, ponieważ obracając nieskończoną krzywą dookoła osi x uzyskuje się skończoną objętość. Często jest on nazywany paradoksem malarzy, ponieważ do pomalowania takiej powierzchni potrzebna jest nieskończona ilość farby, ale wystarczy skończona ilość farby, aby napełnić naczynie o takim kształcie.

Paradoks powstaje, ponieważ długość "pierścieni" całkowanych w celu znalezienia powierzchni jest o jeden wymiar mniejsza niż powierzchnia "plastrów" całkowanych w celu znalezienia objętości całkowitej. Ponieważ $x \to \infty$ , to:

$\pi\frac{1}{x^2} \ll 2\pi\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}$

Oznacza to, że z rosącym x numeryczna wielkość "plastrów" (odpowiadających za objętość) jest znacznie mniejsza niż "pasków" (odpowiadających za pole). Po całkowaniu (jak pokazano powyżej) wynika, że objętość zmierza, ale nigdy nie przekracza wartości $π$ .