Równanie funkcyjne
Z Wikipedii
Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja.
[edytuj] Przykłady
- Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
- Równanie f(x + y) = f(x) + f(y) spełniają funkcje addytywne.
- Równania f(x) = f( − x) oraz f(x) = − f( − x) spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
- Znajdźmy wszystkie funkcje
dla których f(x + y)2 = f(x)2 + f(y)2.
- Podstawiając x = y = 0 otrzymujemy f(0)2 = 2f(0)2, czyli f(0) = 0.
- Niech y = − x, wówczas
- 0 = f(0)2 = f(x − x)2 = f(x)2 + f( − x)2
- Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość f(x) = 0 jest spełniona dla każdego x. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest f(x) = 0.
- Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki a1 = 1,an + 1 = (n + 1)an jest ciąg an = n!.
- Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.
