Funkcje parzyste i nieparzyste

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje parzyste i nieparzyste to funkcje zachowujące symetrię względem znaku argumentu. Mianowicie:

funkcja parzysta: funkcja spełniająca równanie $f ( - x) = f (x)$ ;
funkcja nieparzysta: funkcja spełniająca równanie $f ( - x) = - f (x)$ .

Dziedzina funkcji parzystych i nieparzystych jest symetryczna: jeżeli $x$ należy do dziedziny, to $- x$ również.

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych (choć definicje mają również sens w dziedzinach, dla których możemy określić operację elementu przeciwnego, np. liczby zespolone).

Spis treści

1 Wykresy
2 Przykłady
- 2.1 Funkcje parzyste
- 2.2 Funkcje nieparzyste
3 Własności
4 Zobacz też

[edytuj] Wykresy

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $O Y$ , a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli $0$ należy do dziedziny nieparzystej funkcji $f$ , to $f (0) = 0$ (wykres funkcji przechodzi przez środek układu współrzędnych).

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Funkcje parzyste

wartość bezwzględna $\ f(x) = |x|$ ,
funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, $\ f(x) =x^{2k}, k\in \mathbb N$ ,
funkcja trygonometryczna $\ f(x)=\cos x$ ,
funkcja hiperboliczna $\ f(x)=\cosh x$ ,
wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. $\ f(x)=x^{10}+2x^{6}-x^{2}+4$ ).

[edytuj] Funkcje nieparzyste

funkcja liniowa $f(x)= \ ax$ (proporcjonalność prosta),
funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku: $f(x)=x^{2k+1}, k\in \mathbb N$ ,
funkcje trygonometryczne $\ f(x)=\sin x$ i $f(x)=\operatorname{tg} x$ ,
funkcja hiperboliczna $f(x)= \operatorname{tgh} x$
wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. $f(x)=x^7+6x^5-10x^3+\sqrt{3\pi}x$ )

[edytuj] Własności

Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza.
Jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny: