Równanie różniczkowe Riccatiego

Z Wikipedii

Równanie różniczkowe Riccatiego - typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego.

Równanie postaci:

,

gdzie p,q,r są funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale (a,b), nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego.

Przypadki szczególne:

• dla , równanie sprowadza się ono do równania różniczkowego Bernoulliego,
• dla , równanie sprowadza się ono do równania liniowego.

Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do kwadratur. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne y₁ równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie

do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymujemy

skąd wobec równości otrzymuje się równanie różniczkowe

.

[edytuj] Bibliografia

1. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 464. 

[edytuj] Zobacz też

• równanie Clairauta,
• równanie rożniczkowe zupełne