Równanie rożniczkowe zupełne

Z Wikipedii

Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:

w którym - funkcje ciągłe w pewnym obszarze D i takie, że wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze D funkcji dwóch zmiennych F(x,y).

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja F(x,y), że w każdym punkcie obszaru D zachodzą następujące związki:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym D jest spełnienie równości:

Przykład:

Zatem , czyli instnieje F(x,y) taka, że:

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. drugie) otrzymujemy:

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

ycosx − yxsinx + φ^'(x) = (cosx − xsinx)y z rów. 1

Stąd: φ^'(x) = 0,

zatem φ(x) = C₁.

Czyli ,

i upraszając: , gdzie C - stała.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.