Równia pochyła

Z Wikipedii

Równia pochyła – jedna z maszyn prostych. Urządzenia, których działanie oparte jest na równi, były używane przez ludzkość od zarania dziejów. Przykładem równi jest dowolna płaska pochylnia.

Równia to płaska powierzchnia nachylona do poziomu pod pewnym kątem. Po jej powierzchni przesuwa się ciało.

Zagadnieniem równi jest to określenie zasad ruchu ciała po równi.

Spis treści

1 Równia bez tarcia
- 1.1 W notacji wektorowej
2 Równia z tarciem
3 Historia

[edytuj] Równia bez tarcia

Rozkład sił na równi

Ciało poruszające się bez tarcia po równi pochyłej doznaje przyspieszenia w kierunku nachylenia równi, proporcjonalnego do iloczynu przyspieszenia i sinusa kąta nachylenia równi.

$G = mg \,$

$F_1 = G \sin \alpha = G \frac h l \,$

$m a = F_1 = m g \sin \alpha \,$

$a=g\cdot \sin\alpha = g \frac h l$

gdzie

g oznacza przyspieszenie ziemskie,

α jest kątem nachylenia równi do poziomu,

h - wysokością równi,

l - długością równi (nachylonej powierzchni).

[edytuj] W notacji wektorowej

Na ciało działa siła grawitacji G oraz siła reakcji N równi na nacisk ciała na nią. Siła nacisku równoważy składową F2 siły grawitacji prostopadłą do równi. Co można wyrazić wzorem:

$\mathbf G = m \mathbf g$

$\mathbf N = - F_2$

$\mathbf F_2 = (\mathbf G \cdot \mathbf \hat n) \mathbf \hat n$ $= |\mathbf G|\cdot\cos \alpha \cdot\mathbf{\hat n}$

$\mathbf F_1 = (\mathbf G \cdot \mathbf \hat r) \mathbf \hat r = |\mathbf G|\cdot\sin \alpha \cdot \mathbf{\hat r}$

$\mathbf W = \mathbf G + \mathbf N = \mathbf G - \mathbf F_2 = \mathbf F_1$

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona:

$m \mathbf a = \mathbf W = \mathbf F_1 =|\mathbf G|\cdot\sin \alpha \cdot \mathbf{\hat r}$

$\mathbf a =(\mathbf g \cdot \mathbf \hat r )\mathbf \hat r= |\mathbf g|\cdot\sin \alpha \cdot \mathbf{\hat r}$

$\sin \alpha = \frac h l$

Gdzie:

$\mathbf{\hat r}$ - jest wersorem (wektorem o długości 1 wyznaczającym kierunek) w kierunku równoległym do równi w kierunku jej spadku,

$\mathbf{\hat n}$ - jest wersorem w kierunku prostopadłym do równi,

$\mathbf g$ - jest wektorem przyspieszenia ziemskiego.

$\mathbf a$ - przyspieszenie ruchu ciała na równi.

[edytuj] Równia z tarciem

Rozkład sił na równi z uwzględnieniem siły tarcia

Jeżeli ciało spoczywa, siła tarcia statycznego równoważy siłę wypadkową działającą na to ciało. Siła tarcia statycznego może przyjąć tylko wartości mniejsze od wynikających z prawa tarcia. Siła tarcia jest kolejną siłą, którą trzeba uwzględnić przy wyznaczaniu siły wypadkowej. Co można zapisać:

$\mathbf {T_s} = -{\mathbf {W}}$

$\mathbf {T_s} \leq |\mathbf N | \mu \mathbf {\hat r}$

$0 = \mathbf W = \mathbf G + \mathbf N + \mathbf {T_s} = \mathbf G - \mathbf F_2 + \mathbf {T_s} = \mathbf F_1 + \mathbf {T_s}$

$\mathbf F_1 = - \mathbf {T_s}$

Warunek pozostawania ciała w spoczynku na równi:

$\mathbf F_1 \leq |\mathbf N | \mu \mathbf {\hat r}$

co odpowiada

$\operatorname{tg} \alpha \leq \mu_s$

Gdzie:

μ s

- współczynnik tarcia statycznego,

$\mathbf {T_s}$ siła tarcia statycznego.

Dla ciała poruszającego się siła tarcia przeciwdziała ruchowi ciała, oznacza to że ma kierunek taki jak kierunek ruchu ciała, zwrot przeciwny do zwrotu ruchu ciała, a wartość proporcjonalną do siły nacisku, co można wyrazić wzorem:

$\mathbf T_d = - \mu_d |\mathbf N | \mathbf {\hat v }$

$m \mathbf a = \mathbf W = \mathbf F_1 + \mathbf T_d = |\mathbf G|(\sin \alpha \mathbf{\hat r} + \mu_d\cos \alpha \mathbf{\hat v})$

$\mathbf a = |\mathbf g|(\sin \alpha \mathbf{\hat r} + \mu_d\cos \alpha \mathbf{\hat v})$

gdzie:

$\mathbf{\hat v}$ - jest wersorem o kierunku ruchu (prędkości) ciała,
$μ d$ - współczynnik tarcia dynamicznego.

Dla ciała poruszającego się w dół równi w zapisie niewektorowym wzór upraszcza się do:

$a = g(\sin \alpha - \mu_d\cos \alpha) \,$ ,

dodatnia wartość wskazuje przyspieszenie w dół równi, czyli ruch przyspieszony, ujemna - przyspieszenie w górę równi czyli ruch opóźniony.

Dla poruszającego się w górę równi:

$a = g(\sin \alpha + \mu_d\cos \alpha)\,$ ,

przyspieszenie jest skierowane w dół równi, co oznacza, że ruch jest zawsze opóźniony.

[edytuj] Historia

W XVII wieku Galileusz wykorzystał obserwacje staczających się po równi pochyłej kul o różnych ciężarach, do sformułowania rewolucyjnego na owe czasy wniosku, że prędkość spadającego swobodnie ciała nie zależy od jego masy. Przeczyło to przyjmowanym wtedy powszechnie (a spotykanym również obecnie!) poglądom Arystotelesa , że ciało spada tym prędzej im jest cięższe. Na podstawie tych obserwacji Galileusz sformułował też swą regułę spadku swobodnego:

w kolejnych jednostkach czasu spadające swobodnie ciało przebywa drogi proporcjonalne do kolejnych liczb nieparzystych

Przyjmuje się powszechnie, że równie pochyłe posłużyły do budowy piramid w starożytnym Egipcie.

Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu fizyki.