Topologiczna suma prosta

Z Wikipedii

Topologiczna suma prosta - w analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni przestrzeni unormowanej, których norma iloczynu kartezjańskiego jest równoważna z normą całej przestrzeni. Istnienie rozkładu przestrzeni unoromowanej na topologiczną sumę prostą znajduje zastosowanie w rachunku wariacyjnym - por. twierdzenie Lusternika (ekstrema warunkowe).

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $X 1, X 2$ jej podprzestrzeniami takimi, że $X=X_1\oplus X_2$ (suma prosta podprzestrzeni). Sumę tę nazywamy topologiczną sumą prostą jeśli norma iloczynu kartezjańskiego $X_1\times X_2$ jest równoważna normie przestrzeni $X$ .

[edytuj] Uwagi

W przestrzeni $X_1\times X_2$ normę określa się w następujący sposób:

$\|(x_1,x_2)\|=\|x_1\|+\|x_2\|$ , gdzie $x_1\in X_1, x_2\in X_2$ .

Norma tej przestrzeni jest często mocniejsza od normy przestrzeni $X$ , jednak gdy są równoważne, mówimy wówczas o topologicznej sumie prostej podprzestrzeni $X 1$ i $X 2$ .

Suma prosta (algebraiczna) podprzestrzeni $X 1, X 2$ jest topologiczna wtedy i tylko wtedy, gdy rzutownia $\operatorname{pr}_1, \operatorname{pr}_2$

$X_1\oplus X_2\ni x \mapsto \operatorname{pr}_1:=x_1\in X_1$

$X_1\oplus X_2\ni x \mapsto \operatorname{pr}_2:=x_2\in X_2$

są ciągłe w sensie topologii przestrzeni $X$ . Z powyższego widać, że gdy $X_1\oplus X_2$ jest topologiczną sumą prostą, to podprzestrzenie $X 1, X 2$ są domknięte.

Dla każdej podprzestrzeni $U$ przestrzeni liniowej $V$ istnieje taka podprzestrzeń $W$ , że $V$ jest sumą prostą tych podprzestrzeni. Podprzestrzeń $W$ nazywamy dopełnieniem algebraicznym podprzestrzeni $U$ . Jeśli natomiast $X 1$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni unormowanej $X$ to na ogół, nie można dobrać do niej takiej podprzestrzeni $X 2$ by obie stanowiły rozkład na topologiczna sumę prostą przestrzeni $X$ . Twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje natomiast, że jeśli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni $X 1$ istnieje dopełnienie ortogonalne $X_1^\perp$ , takie że $X=X_1\oplus X_1^\perp$ stanowi rozkład na topologiczną sumę prostą.