Transformata Laplace'a

Z Wikipedii

Jednostronną Transformatą Laplace'a funkcji $\mathbb{R} \ni t \to f(t) \in \mathbb{R}$ nazywamy następującą funkcję $\mathbb{C} \ni s \to F(s) \in \mathbb{C}$ :

$F(s)= \left\{\mathcal{L} f\right\}(s)=\int\limits_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim, w następującej formie:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int\limits_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace'a) jest zbieżna.

Funkcję $X \ni f \to \mathcal{L}(f)$ nazywamy transformacją Laplace'a

Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty, a transformacji Laplace'a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace'a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace'a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace'a jest jedynie obrazem pewnej funkcji f(t) przez transformację Laplace'a.

Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace'a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.

Transformata Laplace'a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych.

Spis treści

1 Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a
2 Własności
3 Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji
4 Transformata odwrotna Laplace'a
5 Zobacz też

[edytuj] Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a

Istnieje zawsze funkcja, która majoryzuje czyli ogranicza wykładniczo funkcję f(t): istnieje takie M oraz d, że dla każdego t > 0 zachodzi zależność: |f(t)| < Me^dt

[edytuj] Własności

[edytuj] Liniowość

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

[edytuj] Transformata pochodnej

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}(f) - f(0^+)$ gdzie

f'(0 +)

oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t =0

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0^+) - f'(0^+)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - df\cdots - f^{(n - 1)}(0^+)$

[edytuj] Pochodna transformaty

$F^{(n)}(s)=(-1)^{(n)}\mathcal{L}\{ t^{(n)} f(t)\}$

[edytuj] Transformata całki

$\mathcal{L}\left\{ \int\limits_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} F(s)$

[edytuj] Całka transformaty

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int\limits_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

[edytuj] Przesunięcie w dziedzinie transformaty

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

[edytuj] Transformata funkcji z przesunięciem

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) 1(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) 1(t - a)$

gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy---------.

[edytuj] Splot

$\mathcal{L}\left\{\int\limits_0^\infty f(u)\cdot g(t-u)\,du\right\} = \mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Jest to tzw. Twierdzenie Borela o splocie.

[edytuj] Transformata funkcji okresowej o okresie p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int\limits_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

[edytuj] Własności graniczne

$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$

$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$

[edytuj] Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji

$\mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\} = 1$

$\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)\right\} = e^{-as}$

$\mathcal{L}\left\{a\right\} = a\frac{1}{s}$

$\mathcal{L}\left\{at\right\} = a\frac{1}{s^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{at^n\right\} = a\frac{n!}{s^{n+1}} \qquad dla \quad n = 0,1,2,3,....$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\left\{\sin(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\sinh(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\cosh(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{t^ne^{at}\right\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\sin(bt)\right\} = \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\frac{t}{2b}\sin(bt)\right\} = \frac{s}{(s^{2}+b^{2})^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\cos(bt)\right\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\ln(at)\right\} = -\frac{\gamma + \ln(s) - \ln(a)}{s}$

gdzie $γ$ – stała Eulera

[edytuj] Transformata odwrotna Laplace'a

Zobacz więcej w osobnym artykule: odwrotna transformata Laplace'a.

Transformatą odwrotną funkcji $\mathbb{C} \ni s \to F(s) \in \mathbb{C}$ nazywamy taką funkcję $\mathbb{R} \ni t \to f(t) \in \mathbb{R}$ , której transformatą jest F(s):

$\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = f(t)$ jeżeli $F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Równania różniczkowe

We provide Linux to the World