Funkcja okresowa

Z Wikipedii

Funkcja okresowa – intuicyjnie, funkcja, której wartości "powtarzają się" cyklicznie w nieskończoność (ścisła definicja poniżej). Klasycznym przykładem jest funkcja sinus:

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Spis treści 1 Definicja dla funkcji liczbowych 2 Definicja dla półgrup 3 Przykłady funkcji okresowych 4 Analiza harmoniczna 5 Zobacz też

[edytuj] Definicja dla funkcji liczbowych

Niech oraz niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze D. Okresem funkcji f nazywamy dowolną liczbę T różną od zera (niekiedy zakłada się, że T > 0) o następujących własnościach:

1. dla dowolnej liczby , również liczby x + T,x − T należą do D (niekiedy opuszcza się warunek ) oraz
2. dla każdego zachodzi równość f(x + T) = f(x).

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie T nazywa się czasem skrótowo funkcją T-okresową. Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji f istnieje najmniejszy, nazywamy go okresem podstawowym (lub zasadniczym). Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji Dirichleta, danej wzorem

,

okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę x, dla której wyrażenie f(x) ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla x + T, a w konsekwencji i dla x + 2T, x + 3T itd. (oraz x − T, x − 2T itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji f powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku f(x − T) = f(x); kładąc bowiem x − T zamiast x w warunku 2, otrzymujemy f(x) = f((x − T) + T) = f(x − T).

Jeśli T jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby T też jest okresem funkcji.

[edytuj] Definicja dla półgrup

Niech (G, * ) będzie półgrupą, a funkcją określoną na G. Jeśli istnieje taki element T w G (nie będący elementem neutralnym), że f(x * T) = f(x) dla dowolnego , to nazywamy go okresem funkcji f, a samą funkcję nazywamy okresową.

Zauważmy, że powyższa definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bowiem tym razem nie założyliśmy istnienia odpowiednika liczby x − T. Jeśli G jest grupą, to oczywiście warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym) oraz że w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

[edytuj] Przykłady funkcji okresowych

Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne (2π-okresowe sinus, kosinus, sekans, kosekans, oraz -okresowe tangens, kotangens), funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera), funkcja wykładnicza rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych, której okresem podstawowym jest 2πi.

[edytuj] Analiza harmoniczna

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• okres (fizyka)
• Funkcja prawie okresowa