Twierdzenie Bella

Z Wikipedii

Twierdzenie Bella jest jednym z najważniejszych odkryć naukowych dotyczących podstaw mechaniki kwantowej i teorii pomiaru, pokazującym w jaki sposób jej przewidywania różnią się od klasycznej intuicji. Jego autorem jest Irlandzki fizyk John Stewart Bell. Można je sformułować następująco:

Żadna teoria zmiennych ukrytych zgodna z teorią względności nie może opisać wszystkich zjawisk mechaniki kwantowej.

Bell sformułował to twierdzenie w 1964 roku w pracy "On the Einstein Podolsky Rosen paradox" (patrz Paradoks EPR). Einstein zakładał realizm lokalny – czyli że parametry cząstek kwantowych mają wartości niezależne od aktów obserwacji i że oddziaływania fizyczne zachodzą ze skończoną prędkością. Bell pokazał że to założenie prowadzi do mierzalnych efektów, które nie występują w mechanice kwantowej. Udowodnił, ze wszystkie teorie lokalne i realistyczne muszą spełniać tzw. nierówności Bella. Natomiast mechanika kwantowa ich nie spełnia.

Nierówności Bella otrzymujemy jeżeli założymy, że wyniki pomiarów przeprowadzanych przez dwóch odległych od siebie obserwatorów na parach cząstek mają spełniać zasady lokalnego realizmu (oraz, że dwaj odlegli od siebie obserwatorzy mają swobodny wybór tego co chcą z danej chwili zmierzyć).

Bell pokazał że zgodnie z mechaniką kwantową mogą jednak zachodzić nieklasyczne korelacje łamiące te ograniczenia. Wynika to z faktu że stan splątany dwóch cząstek nie da się sprowadzić do opisu stanów jego poszczególnych elementów. Pojedyncza cząstka z takiej pary, w stanie maksymalnie splątanym, nie ma zdefiniowanego stanu. Opis ten jest zgodny z zasadą nieoznaczoności, stanowiącą podstawę mechaniki kwantowej.

Zgodnie z twierdzeniem Bella albo mechanika kwantowa jest błędna, albo realizm lokalny nie zachodzi. Oryginalna nierówność Bella ma zastosowanie tylko do eksperymentów myślowych. Z racji tego w 1969 roku Clauser, Horne, Shimony i Holt wyprowadzili udoskonaloną formę nierówności (nazwaną od ich nazwisk CHSH), która może być poddana testowi eksperymentalnemu. Pierwszy eksperyment testujący nierówność CHSH przeprowadzili Freedman i Clauser w 1972. Ulepszone eksperymenty zostały przeprowadzone przez grupę Alaina Aspecta na początku lat osiemdziesiątych. Od tego czasu wielokrotnie przeprowadzono takie eksperymenty, gromadząc przytłaczające dowody przeciwko realizmowi lokalnemu. Jednak, jak dotąd nie przeprowadzono ani jednego idealnego eksperymentu Bella.

Należy pamiętać, że łamanie nierówności Bella nie daje możliwości przekazywania informacji szybciej niż z prędkością światła, a więc doświadczenia te nie obalają szczególnej teorii względności.

Co istotne, łamanie nierówności Bella oznacza, że połączenie realizmu i lokalności prowadzi do sprzeczności z mechanika kwantową. Zatem nie można stwierdzić która z tych hipotez, realizm czy lokalność, jest wykluczona z racji twierdzenia Bella.

[edytuj] Prezentacja twierdzenia Bella w formie gry

Wyobraźmy sobie grę w której nasz przeciwnik przygotowuje trzy niewidoczne dla nas karty i twierdzi że:

1. Pierwsza i druga karta są tego samego koloru
2. Druga i trzecia karta są tego samego koloru
3. Pierwsza i trzecia karta są różnych kolorów

Naszym zadaniem jest stwierdzenie które z tych zdań jest fałszywe. Gra polega na tym że wskazujemy które dwie karty mają zostać odkryte, a przeciwnik je odkrywa. Jeśli odkryte karty będą sprzeczne z odnoszącym się do nich zdaniem, wygrywamy 2$. Jeśli będą zgodne, przegrywamy 1$.

Łatwo zauważymy że wszystkie trzy zdania nie mogą być prawdziwe. Tym samym nawet jeśli będziemy całkowicie losowo wybierać karty do odkrycia, mamy co najmniej 1/3 szans na wykrycie fałszywego zdania. Nasza wartość oczekiwana tej gry wynosi co najmniej 1 / 3 * 2$ + 2 / 3 * ( − 1$) = 0.

Aby uniemożliwić przeciwnikowi oszukiwanie, wprowadzamy następującą modyfikację: przeciwnik musi przygotować dwie kopie kart i przesłać je do swoich pomocników: Alicji i Boba. My pytamy o jedną kartę pierwszego pomocnika, a o drugą drugiego. Aby fizycznie uniemożliwić tym pomocnikom komunikowanie się ze sobą, umieszczamy ich w dużej odległości od siebie i pytamy ich jednocześnie – wymagając odpowiedzi od razu, tak aby nie zdążyli przesłać do siebie informacji o co zapytaliśmy nawet z prędkością światła. Aby zapewnić, że dostali identyczne zestawy kart, dostajemy możliwość pytania ich o tę samą kartę i np. ustalamy że jeśli odpowiedzi będą różne, wygrywamy 1 000 000$.

W ten sposób nawet, jeśli przeciwnik nie daje pomocnikom ustalonych odpowiedzi, a jedynie jakieś instrukcje jak odpowiadać, pomocnicy muszą podać kolory kart bazując jedynie na tych instrukcjach i numerze karty o którą pytamy. Można pokazać, że żaden zestaw instrukcji nie daje przeciwnikowi możliwości wygrywania.

Bell pokazał, że zgodnie z mechaniką kwantową przeciwnik może wygrywać.

Realizowane jest to w następujący sposób: przeciwnik przygotowuje parę cząstek splątanych w ten sposób, że pomiar ich spinu wzdłuż dowolnej osi daje losową wartość, ale pomiary obu wzdłuż tej samej osi daje zawsze identyczne rezultaty. Formalnie rzecz biorąc jest to maksymalnie splątany stan dwóch cząstek o spinie 1/2, tzw. singlet (z tym, że zakładamy że jeden z obserwatorów, np. Bob, po pomiarze lokalnej wartości składowej spinu, zawsze zmienia znak otrzymanej eksperymentalnie wartości).

Cząstki są przesyłane w postaci kolejnych par do Alicji i Boba, każdy z nich otrzymuje jedną z danej pary. Dla każdej pary wykonują oni pomiary pewnej składowej spinu swojej cząstki.

Można policzyć że jeśli mierzą składowe spinu tych dwóch cząstek wzdłuż różnych osi, to w zależności od kąta pomiędzy tymi osiami wyniki dwóch pomiarów są ze sobą związane:

• jeśli osie są względem siebie pod kątem 60° - prawdopodobieństwo identycznego (po zamianie znaku przez Boba) wyniku wynosi 3/4
• jeśli osie są względem siebie pod kątem 120° - prawdopodobieństwo identycznego (jw.) wyniku wynosi 1/4

Cząstka A jest wysyłana do Alicji, a cząstka B do Boba. Pomocnicy traktują pytania o poszczególne karty jako instrukcje wzdłuż jakiej osi zmierzyć wartość spinu swojej cząstki. Umawiają się wcześniej, że ich pomiary będą tylko w pewnej ustalonej płaszczyźnie, np. XY, czyli kierunek Y to pion, a kierunek X jest poziomy.

• Pytanie o pierwszą kartę: wzdłuż osi odchylonej od pionu (Y) w lewo o 60°
• Pytanie o drugą kartę: wzdłuż osi pionowej (Y)
• Pytanie o trzecią kartę: wzdłuż osi odchylonej od pionu w prawo o 60°

Pomocnicy podają nam kolory kart zgodne z otrzymanym wynikiem (np. czerwona jeśli pomiar dał spin skierowany do góry i czarna jeśli dał spin skierowany w dół).

W efekcie odpowiedzi pomocników są skorelowane w następujący sposób:

• Jeśli spytamy o tę samą kartę – prawdopodobieństwo identycznego wyniku wynosi 100%
• Jeśli spytamy o sąsiednie karty – prawdopodobieństwo identycznego wyniku wynosi 75%
• Jeśli spytamy o pierwszą i trzecią kartę – prawdopodobieństwo identycznego wyniku wynosi 25%

Tym samym średnio nasza wartość oczekiwana gry (gdy nie pytamy o tę samą kartę) wynosi 1 / 4 * 2$ + 3 / 4 * ( − 1$) = − 1 / 4$. Oznacza to że wbrew naszym wcześniejszym twierdzeniom, przeciwnik ma strategię wygrywającą przy dłuższym prowadzeniu gry.

Ta sprzeczność ze zdroworozsądkowym dowodem, że nasza wartość oczekiwana gry jest nieujemna, jest właśnie przykładem złamania nierówności Bella. Okazuje się że mimo, że pomocnicy nie mogą się komunikować ze sobą, splątane pary dają im możliwość skorelowania swoich zachowań w wystarczającym stopniu aby wygrać w tej grze.