Wartość oczekiwana

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Zmienna dyskretna
- 1.2 Zmienna ciągła
2 Własności
3 Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej
4 Zobacz też

Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia), nadzieja matematyczna – w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

[edytuj] Definicja

[edytuj] Zmienna dyskretna

Niech $X$ będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane.

Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_1, x_2, \dots, x_n$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio $p_1, p_2, \dots, p_n$ , to wartość oczekiwana $\mathbb EX$ zmiennej losowej $X$ wyraża się wzorem

$\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i$ .

Jeżeli zmienna $X$ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to wzór na jej wartość oczekiwaną ma $\infty$ w miejsce $n$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny).

[edytuj] Zmienna ciągła

Jeżeli $X$ jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ definiuje się jako całkę

$\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P$

o ile powyższa całka istnieje, czyli jest skończona:

$\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty$ .

[edytuj] Własności

Dowodzi się, że jeśli $X$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f (x)$ , to jej wartość oczekiwana wynosi

$\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~x f(x) dx$ .

Jeżeli $Y = \varphi(X)$ jest funkcją mierzalną, to

$\mathbb EY = \mathbb E\left(\varphi(X)\right) = \int\limits_\mathbb R~\varphi(x) f(x) dx$ .

Jeśli istnieją $\mathbb EX$ oraz $\mathbb EY$ , to:

$\mathbb Ec = c$ , gdzie $c$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
$\forall_{a, b}\; \mathbb E(aX + b) = a\mathbb EX + b$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
jeżeli $X, Y$ są niezależne, to $\mathbb E(XY) = \mathbb EX \mathbb EY$ ,
jeżeli $X \geqslant 0$ prawie wszędzie, to $\mathbb EX \geqslant 0$ ,
$\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|$ .

[edytuj] Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli której odpowiada operator $\hat{A}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową $ψ$ wynosi $\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau$ gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.