Twierdzenie Frobeniusa

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Spis treści 1 O algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych 1.1 Twierdzenie uogólnione 2 O klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów 3 O strukturze skończenie generowanych grup abelowych (Frobeniusa-Stickelbergera) 4 O centralizatorze macierzy 5 Twierdzenie Frobeniusa-Königa 6 Bibliografia

[edytuj] O algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych

Udowodnione w 1878 przez G. Frobeniusa twierdzenie o algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych:

Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.

Twierdzenie zachodzi dla każdego ciała euklidesowego (zob. 1, VIII §11.2).

Algebra nad ciałem to przestrzeń wektorowa z dodatkowym działaniem mnożenia wektorów, które ma być rozdzielne względem dodawania i spełniać warunek (au)v = u(av) = a(uv) dla skalara a i wektorów u,v. Algebrę nazywamy łączną, gdy mnożenie jest łączne, tzn. u(vw) = (uv)w dla dowolnych trzech wektorów u,v,w.

Algebrą alternatywną nazywamy algebrę nad ciałem spełniającą osłabione warunki łączności:

• (uv)v = u(vv), (uu)v = u(uv)

[edytuj] Twierdzenie uogólnione

Każda alternatywna algebra z dzieleniem nad ciałem jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów, albo z algebrą oktaw Cayleya.

W każdym z tych twierdzeń rozróżnienie algebr jest łatwe: ciało liczb rzeczywistych ma wymiar 1, ciało liczb zepolonych ma wymiar 2, algebra kwaternionów ma wymiar cztery, a algebra oktaw Cayleya ma wymiar 8 - wszyskie wymiary nad ciałem liczb rzeczywistych.

[edytuj] O klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów

Jeśli K jest ciałem, a K[X] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem K[X] jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy d_i na miejscach (i,i), przy czym niezerowe wielomiany d_i są unormowane i wszystkie wielomiany d_i spełniają warunek d_i | d_{i + 1}.

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami "diagonalnymi" d_i dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy "diagonalne" d_i nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli D_i jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia i macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

d₁ = D₁, d_{i + 1} = D_{i + 1} / D_i.

[edytuj] O strukturze skończenie generowanych grup abelowych (Frobeniusa-Stickelbergera)

Udowodnione w 1878 roku przez G. Frobeniusa i L. Stickelbergera:

Skończenie generowana grupa abelowa jest sumą prostą grup cyklicznych; ma jednoznacznie określony rozkład na sumę prostą

gdzie d_i są liczbami całkowitymi nieujemnymi, d₁ > 1, oraz dla każdego i zachodzi d_i | d_{i + 1} (tym samym jeśli w ciągu d_i występują zera, to są na końcu). Wyrazy ciągu d_i nazywamy czynnikami niezmienniczymi grupy; dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych. Liczba zer w ciągu czynników niezmienniczych jest rangą grupy abelowej.

To twierdzenie jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych i zachodzi dla skończenie generowanych modułów nad pierścieniem ideałów głównych. (zob. 2. poz. bibliografii, twierdzenie III.15.2)

[edytuj] O centralizatorze macierzy

Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n nad ciałem F, d_i są czynnikami niezmienniczymi macierzy charakterystycznej A − XI nad pierścieniem wielomianów F[X], a D_i są najwiekszymi wspólnymi dzielnikami minorów stopnia i macierzy charakterystycznej A − XI dla , to zbiór Z(A) wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem F przemiennych z A jest podprzestrzenią przestrzeni macierzy o wymiarze

,

gdzie deg oznacza stopień wielomianu.

[edytuj] Twierdzenie Frobeniusa-Königa

Jeśli A jest zerojedynkową macierzą kwadratową stopnia n, to jej permanent jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona podmacierz zerową o r wierszach i s kolumnach z r + s > n

[edytuj] Bibliografia

1. N. Bourbaki, Algébre, livre II,
2. L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.