Twierdzenie Rolle'a
Z Wikipedii
Twierdzenie Rolle'a – jedno z podstawowych twierdzeń klasycznej analizy matematycznej, charakteryzujące zachowanie się funkcji różniczkowalnej.
[edytuj] Twierdzenie
Jeśli dana funkcja jest:
- ciągła w przedziale
- jest różniczkowalna w przedziale
- na końcach przedziału przyjmuje równe wartości: ,
to w przedziale istnieje co najmniej jeden punkt taki, że .
Twierdzenie to opublikował francuski matematyk Michel Rolle w 1691. W innej postaci znane ono było w 1150 roku hinduskiemu matematykowi Bhaskarze.
[edytuj] Dowód
Jeżeli f = const, to . Jeżeli wówczas
- .
Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu istnieje wartość funkcji większa od f(a) = f(b). Twierdzenie Weierstrassa mówi, że jeżeli funkcja jest ciągła i określona na przedziale zwartym [a,b], to przyjmuje wartość największą, tzn.
- .
Jednak założyliśmy, że istnieje wartość większa od f(a) = f(b), a zatem , a więc . Ponieważ w xmax funkcja f ma ekstremum globalne, pochodna w tym punkcie musi być równa zeru. A więc kładąc c: = xmax otrzymujemy tezę .
Analogicznie rozumujemy w drugim przypadku (tyle, że dla wartości najmniejszej).